Упр.2.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.39. Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению: а) (х — у + 1)2 + (х + 2у — z)2 + 5y2 = 0; б) х2 + у2 + z2 — ху — yz — zx = 0.

а) Так как сумма квадратов равна нулю, то каждый квадрат равен нулю:

$$ \begin{cases} (x-y+1)^2=0,\\ (x+2y-z)^2=0,\\ 5y^2=0. \end{cases} $$

Из третьего уравнения получаем:

$$ 5y^2=0 \Rightarrow y=0. $$

Тогда из первого уравнения:

$$ x-y+1=0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1. $$

Из второго уравнения:

$$ x+2y-z=0 \Rightarrow -1+0-z=0 \Rightarrow z=-1. $$

Следовательно,

$$ (x,y,z)=(-1,0,-1). $$

б) Преобразуем выражение:

$$ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0. $$

Умножим на 2 и сгруппируем:

$$ 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0, $$
$$ (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2zx+z^2)=0. $$

Тогда

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0. $$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$ \begin{cases} x-y=0,\\ y-z=0,\\ x-z=0. \end{cases} $$

Отсюда

$$ x=y=z. $$

Значит, все решения имеют вид

$$ (t,t,t), \quad t\in \mathbb{R}. $$

Ответ

а) $$(-1,0,-1)$$;
б) $$ (t,t,t),\ t\in \mathbb{R}. $$