Упр.2.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.38. а) (х + 2у)2 + 2|х — у + 3| = у — х — 3; б) (5х -2у — 7)2 + 4|3x -2у-5| = Зх — 2у — 5.

а) Пусть $$t=x-y+3.$$ Тогда $$y-x-3=-t,$$ и уравнение принимает вид

$$ (x+2y)^2+2|t|=-t. $$

Левая часть неотрицательна, значит, правая тоже неотрицательна. Но $$-t\ge 0$$ и одновременно $$2|t|\ge 0,$$ поэтому сумма равна нулю только при

$$ (x+2y)^2=0,\qquad |t|=0. $$

Отсюда

$$ x+2y=0,\qquad x-y+3=0. $$

Решаем систему:

$$ x=-2y, $$

$$ -2y-y+3=0, $$

$$ 3y=3,\qquad y=1,\qquad x=-2. $$

б) Пусть $$t=3x-2y-5.$$ Тогда уравнение можно записать так:

$$ (5x-2y-7)^2+4|t|=t. $$

Левая часть неотрицательна, значит, $$t\ge 0.$$ Тогда $$|t|=t,$$ и получаем

$$ (5x-2y-7)^2+3t=0. $$

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:

$$ 5x-2y-7=0, $$
$$ 3x-2y-5=0. $$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} 5x-2y=7,\\ 3x-2y=5. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ 2x=2,\qquad x=1. $$

Подставим в $$3x-2y=5$$:

$$ 3-2y=5,\qquad -2y=2,\qquad y=-1. $$

Ответ

а) $$(-2;\,1)$$; б) $$(1;\,-1)$$.