Упр.2.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.36 а)(x2+3y2-7)2+ (3-xy-y2)1/2=0 б)(5x+y-6)2+(3x-y-2)4=0

Подробный ответ

а) Пусть

$$ x^2+3y^2-7=a,\qquad 3-xy-y^2=b. $$
Тогда
$$ a^2+\sqrt{b}=0. $$
Так как $a^2 \ge 0$, а $\sqrt{b}\ge 0$, то сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:
$$ \begin{cases} x^2+3y^2-7=0,\\ 3-xy-y^2=0. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $3$, второе — на $7$:
$$ \begin{cases} 3x^2+9y^2-21=0,\\ 21-7xy-7y^2=0. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 3x^2-7xy+2y^2=0. $$
Разложим на множители:
$$ 3x^2-7xy+2y^2=(3x-y)(x-2y)=0. $$
Отсюда
$$ 3x-y=0 \quad \text{или} \quad x-2y=0. $$

1) Если $y=3x$, то
$$ x^2+3(3x)^2-7=0, $$
$$ 28x^2=7, $$
$$ x^2=\frac14,\qquad x=\pm \frac12. $$
Тогда
$$ y=3x=\pm \frac32. $$
Получаем точки:
$$ \left(-\frac12,-\frac32\right),\ \left(\frac12,\frac32\right). $$

2) Если $x=2y$, то
$$ (2y)^2+3y^2-7=0, $$
$$ 7y^2=7, $$
$$ y^2=1,\qquad y=\pm 1. $$
Тогда
$$ x=2y=\pm 2. $$
Получаем точки:
$$ (-2,-1),\ (2,1). $$

б) Так как сумма квадратов равна нулю, то

$$ \begin{cases} 5x+y-6=0,\\ 3x-y-2=0. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 8x-8=0,\qquad x=1. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 5\cdot 1+y-6=0,\qquad y=1. $$