Упр.2.24 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.24. Найдите целочисленные решения системы уравнений Система 2×2 + xy + 9y2 = 12, |x+2y|+ 2х = 5.
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 2x^2+xy+9y^2=12,\\ |x+2y|+2x=5. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем
$$|x+2y|=5-2x,$$
поэтому обязательно $$5-2x\ge 0,$$ то есть $$x\le \frac52.$$
Возведём второе уравнение в квадрат:
$$ (x+2y)^2=(5-2x)^2. $$
Раскроем скобки:
$$ x^2+4xy+4y^2=25-20x+4x^2, $$
$$ 3x^2-4xy-4y^2-20x+25=0. $$
Теперь используем первое уравнение. Умножим его на 2:
$$ 4x^2+2xy+18y^2=24. $$
Вычтем из него выражение, полученное из квадрата второго уравнения, после преобразования удобно рассмотреть возможные значения $y$ как целого числа. Из первого уравнения имеем
$$ 2x^2+xy+9y^2=12. $$
Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $9y^2\le 12$, значит
$$ y^2\le \frac{12}{9}=\frac43, $$
откуда
$$ y\in\{-1,0,1\}. $$
Проверим эти значения.
1) $y=-1$. Тогда
$$ 2x^2-x+9=12, $$
$$ 2x^2-x-3=0. $$
$$ D=1+24=25,\qquad x=\frac{1\pm 5}{4}. $$
Отсюда $$x=\frac32$$ или $$x=-1.$$ Целое значение даёт только $$x=-1.$$ Проверка во втором уравнении:
$$ |-1+2(-1)|+2(-1)=3-2=1\ne 5. $$
Не подходит.
2) $y=0$. Тогда
$$ 2x^2=12,\qquad x^2=6. $$
Целых решений нет.
3) $y=1$. Тогда
$$ 2x^2+x+9=12, $$
$$ 2x^2+x-3=0. $$
$$ D=1+24=25,\qquad x=\frac{-1\pm 5}{4}. $$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=-\frac32.$$ Целое значение даёт только $$x=1.$$ Проверка:
$$ |1+2\cdot 1|+2\cdot 1=3+2=5. $$
Подходит.
Итак, единственное целочисленное решение системы:
$$ (x,y)=(1,1). $$
Ответ
$$ (1,1) $$
