Упр.2.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.35. При каких значениях параметра а система имеет нечетное число решений: а)система x2+xy+y2=3a2, xy(x+y)=2; б)система xy-3x-3y=-5, x2+y2-5x-5y=a;

а) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x^2+xy+y^2=3a^2,\\ xy(x+y)=2. \end{cases} $$

Положим $$x+y=s,$$ $$xy=p.$$ Тогда

$$ x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=s^2-p, $$

и система принимает вид

$$ \begin{cases} s^2-p=3a^2,\\ ps=2. \end{cases} $$

Так как система симметрическая, для нечётного числа решений должен быть корень вида $$x=y.$$ Тогда

$$ x=y=t. $$

Подставим в систему:

$$ \begin{cases} 3t^2=3a^2,\\ 2t^3=2. \end{cases} $$

Отсюда

$$ t^2=a^2,\qquad t^3=1. $$

Из $$t^3=1$$ получаем $$t=1,$$ значит

$$ a^2=1,\qquad a=\pm 1. $$

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} xy-3x-3y=-5,\\ x^2+y^2-5x-5y=a. \end{cases} $$

Преобразуем её:

$$ \begin{cases} xy-3(x+y)=-5,\\ (x+y)^2-2xy-5(x+y)=a. \end{cases} $$

Пусть снова $$x=y=t.$$ Тогда

$$ \begin{cases} t^2-6t=-5,\\ 2t^2-10t=a. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ t^2-6t+5=0, $$

$$ D=36-20=16, $$

$$ t_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad t_2=\frac{6+4}{2}=5. $$

Тогда

$$ a_1=2\cdot 1^2-10\cdot 1=-8, $$

$$ a_2=2\cdot 5^2-10\cdot 5=0. $$

Следовательно, система имеет нечётное число решений при этих значениях параметра.

Ответ

а) $$a=-1,\ 1$$; б) $$a=-8,\ 0$$.