Упр.2.23 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.23. а) (х — 3)(y — 2) = 1; в) (х — 3)(|y| — 2) = 1; б) (|x| — 3)(y — 2) = 1; г) (|x|-3)( |у| — 2) = 1.

Рассмотрим уравнение $$\bigl(|x|-3\bigr)\bigl(|y|-2\bigr)=1.$$

Положим $$u=|x|-3,\qquad v=|y|-2.$$ Тогда получаем более простое уравнение

$$uv=1,$$

то есть $$v=\frac1u,\qquad u\ne0.$$

Возвращаясь к переменным $$x$$ и $$y$$, имеем

$$|y|=\frac1{|x|-3}+2,\qquad |x|\ne3.$$

Так как в правой части стоит модуль, график симметричен относительно обеих осей координат. Для построения достаточно рассмотреть ветвь при $$x\ge0,\ y\ge0$$:

$$y=\frac1{x-3}+2,\qquad x>3.$$

Это гипербола с асимптотами $$x=3$$ и $$y=2.$$ Затем получаем остальные части графика отражением относительно осей координат.

Итак, график состоит из четырёх одинаковых ветвей, расположенных симметрично относительно осей координат.

Ответ

График уравнения $$\bigl(|x|-3\bigr)\bigl(|y|-2\bigr)=1$$ получается из гиперболы $$y=\frac1{x-3}+2$$ при $$x>3,\ y>0$$ отражением относительно осей координат; асимптоты: $$x=\pm3,\ y=\pm2.$$