Упр.2.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.34 а)система |x-y|+xy=x+y, x2+y2-x-y=2; б)система |x-y| +x+y=3xy, x2+y2-xy=3;
а) Введём новые переменные $$u=x+y,\quad v=xy.$$ Тогда
$$|x-y|=\sqrt{(x+y)^2-4xy}=\sqrt{u^2-4v},$$
$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=u^2-2v.$$
Получаем систему
$$ \begin{cases} \sqrt{u^2-4v}+v=u,\\ u^2-2v-u=2. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$\sqrt{u^2-4v}=u-v.$$
Возводим в квадрат:
$$ u^2-4v=(u-v)^2=u^2-2uv+v^2, $$
$$ v^2-2uv+4v=0, $$
$$ v(v-2u+4)=0. $$
Значит, $$v=0$$ или $$v=2u-4.$$
1) Если $$v=0,$$ то из второго уравнения
$$u^2-u-2=0,$$
$$ (u-2)(u+1)=0, $$
откуда $$u=2$$ или $$u=-1.$$
При $$u=2,\ v=0$$ имеем
$$ \begin{cases} x+y=2,\\ xy=0 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(0,2),(2,0). $$
При $$u=-1,\ v=0$$ получаем
$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ xy=0 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(0,-1),(-1,0). $$
2) Если $$v=2u-4,$$ то из второго уравнения
$$u^2-2(2u-4)-u=2,$$
$$u^2-5u+6=0,$$
$$ (u-2)(u-3)=0, $$
откуда $$u=2$$ или $$u=3.$$
При $$u=2,\ v=0$$ уже получаем точки $$ (0,2), (2,0).$$
При $$u=3,\ v=2$$ имеем
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ xy=2 \end{cases} \Rightarrow x(3-x)=2, $$
$$ x^2-3x+2=0, $$
$$ (x-1)(x-2)=0. $$
Следовательно, $$ (x,y)=(1,2),(2,1).$$
б) Введём $$u=x+y,\ v=xy.$$ Тогда
$$|x-y|=\sqrt{u^2-4v},\qquad x^2+y^2=u^2-2v.$$
Система принимает вид
$$ \begin{cases} \sqrt{u^2-4v}+u=3v,\\ u^2-2v-v=3. \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} \sqrt{u^2-4v}=3v-u,\\ u^2-3v=3. \end{cases} $$
Из первого уравнения после возведения в квадрат:
$$ u^2-4v=(3v-u)^2=9v^2-6uv+u^2, $$
$$ 9v^2-6uv+4v=0, $$
$$ v(9v-6u+4)=0. $$
Значит, $$v=0$$ или $$v=\dfrac{6u-4}{9}.$$
1) Если $$v=0,$$ то из второго уравнения
$$u^2=3,$$
и с учётом $$3v-u\ge 0$$ получаем $$u=-\sqrt3.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x+y=-\sqrt3,\\ xy=0 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(0,-\sqrt3),(-\sqrt3,0). $$
2) Если $$v=\dfrac{6u-4}{9},$$ то из второго уравнения
$$ u^2-3\cdot \frac{6u-4}{9}=3, $$
$$ 3u^2-6u-5=0. $$
Отсюда
$$ u=\frac{6\pm \sqrt{96}}{6}=\frac{3\pm 2\sqrt6}{3}. $$
С учётом условия $$3v-u\ge 0$$ подходит только
$$u=\frac{3+2\sqrt6}{3},\qquad v=\frac{2+4\sqrt6}{9}.$$
Тогда
$$ \begin{cases} x+y=\dfrac{3+2\sqrt6}{3},\\ xy=\dfrac{2+4\sqrt6}{9} \end{cases} $$
и
$$ x^2-\frac{3+2\sqrt6}{3}x+\frac{2+4\sqrt6}{9}=0. $$
Корни этого уравнения:
$$x=\frac{1+2\sqrt6}{3},\qquad x=\frac{2}{3}.$$
Соответственно,
$$ y=\frac{2}{3},\qquad y=\frac{1+2\sqrt6}{3}. $$
Ответ
а) $$ (0;2),\ (2;0),\ (0;-1),\ (-1;0),\ (1;2),\ (2;1). $$
б) $$ (0;-\sqrt3),\ (-\sqrt3;0),\ \left(\frac{1+2\sqrt6}{3};\frac{2}{3}\right),\ \left(\frac{2}{3};\frac{1+2\sqrt6}{3}\right). $$
