Упр.2.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.33 а)система x2+xy+y2=3, xy(x2+y2)=2; б)система (1/x)+(1/y)=5, (1/x2)+(1/y2)=13; в) система x2+y2=5, x4+y4=13; г) система x+y+(1/x)+(1/y)=4, xy(x+y)=2;
Положим $$t=x+y,\quad m=xy.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x^2+xy+y^2=3,\\ xy(x^2+y^2)=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} t^2-m=3,\\ m(t^2-2m)=2 \end{cases} $$
Из первого уравнения $$t^2=3+m.$$ Подставим во второе:
$$ m(3+m-2m)=2 \Rightarrow m(3-m)=2 $$
$$ m^2-3m+2=0 \Rightarrow (m-1)(m-2)=0 $$1) Если $$m=1,$$ то $$t^2=4,$$ значит $$t=\pm 2.$$ Тогда
$$ x+y=\pm 2,\quad xy=1 $$
Отсюда $$x=y=1$$ или $$x=y=-1.$$2) Если $$m=2,$$ то $$t^2=5,$$ но при $$x,y\in \mathbb{R}$$ это даёт противоречие с уравнением $$x^2+xy+y^2=3,$$ поэтому действительных решений нет.
Положим $$u=\frac1x,\quad v=\frac1y.$$ Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} u+v=5,\\ u^2+v^2=13 \end{cases} $$
Используем формулу
$$ u^2+v^2=(u+v)^2-2uv $$
$$ 13=25-2uv \Rightarrow uv=6 $$
Тогда числа $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения
$$ t^2-5t+6=0 \Rightarrow (t-2)(t-3)=0 $$
Значит, $$\{u,v\}=\{2,3\}.$$ Следовательно,
$$ \{x,y\}=\left\{\frac12,\frac13\right\} $$
то есть получаем пары $$\left(\frac13;\frac12\right)$$ и $$\left(\frac12;\frac13\right).$$
Положим $$s=x^2+y^2.$$ Тогда из системы
$$ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ x^4+y^4=13 \end{cases} $$
имеем
$$ x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2 $$
$$ 13=25-2(xy)^2 $$
$$ (xy)^2=6 \Rightarrow xy=\pm \sqrt6 $$Теперь найдём $$x^2$$ и $$y^2$$ как корни уравнения
$$ t^2-5t+6=0 $$
$$ t=2 \text{ или } t=3 $$Значит, $$\{x^2,y^2\}=\{2,3\}.$$ Тогда
$$ (x,y)= (\pm \sqrt2,\pm \sqrt3)\ \text{или}\ (\pm \sqrt3,\pm \sqrt2) $$
с учётом условия на знак произведения получаем все подходящие пары:
$$ (-\sqrt3;-\sqrt2),\ (-\sqrt3;\sqrt2),\ (-\sqrt2;-\sqrt3),\ (-\sqrt2;\sqrt3), $$
$$ (\sqrt3;-\sqrt2),\ (\sqrt3;\sqrt2),\ (\sqrt2;-\sqrt3),\ (\sqrt2;\sqrt3). $$Положим $$s=x+y,\quad p=xy.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x+y+\frac1x+\frac1y=4,\\ xy(x+y)=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} s+\frac{s}{p}=4,\\ ps=2 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$p=\frac2s$$. Подставим в первое:
$$ s+\frac{s}{2/s}=4 \Rightarrow s+\frac{s^2}{2}=4 $$
$$ s^2+2s-8=0 $$
$$ s=2 \text{ или } s=-4 $$1) Если $$s=2,$$ то $$p=1.$$ Тогда
$$ t^2-2t+1=0 \Rightarrow t=1 $$
Следовательно, $$x=y=1.$$
2) Если $$s=-4,$$ то $$p=-\frac12.$$ Тогда
$$ t^2+4t-\frac12=0 $$
$$ t=\frac{-4\pm 3\sqrt2}{2} $$Значит, получаем пары
$$ \left(\frac{-4+3\sqrt2}{2};\frac{-4-3\sqrt2}{2}\right),\quad \left(\frac{-4-3\sqrt2}{2};\frac{-4+3\sqrt2}{2}\right). $$
Ответ
а) $$(-1;-1),\ (1;1)$$
б) $$\left(\frac13;\frac12\right),\ \left(\frac12;\frac13\right)$$
в) $$(-\sqrt3;-\sqrt2),\ (-\sqrt3;\sqrt2),\ (-\sqrt2;-\sqrt3),\ (-\sqrt2;\sqrt3),\ (\sqrt3;-\sqrt2),\ (\sqrt3;\sqrt2),\ (\sqrt2;-\sqrt3),\ (\sqrt2;\sqrt3)$$
г) $$\left(\frac{-4+3\sqrt2}{2};\frac{-4-3\sqrt2}{2}\right),\ \left(\frac{-4-3\sqrt2}{2};\frac{-4+3\sqrt2}{2}\right),\ (1;1)$$
