Упр.2.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.32 а)система x+y=5, x2+y2=13; б)система xy-3x-3y=-9, x2+y2-5x-5y=-10 в) система x+y+xy=5, xy(x+y)=6; г) система xy-7x-7y=-9, x2+y2+11)x+y)=16.

Подробный ответ

а) Пусть $$s=x+y,$$ $$p=xy.$$ Тогда
$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,$$
значит
$$ 25-2p=13,\quad 2p=12,\quad p=6. $$
Получаем систему
$$ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} $$
Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$ t^2-5t+6=0, $$
откуда
$$ t=2 \text{ или } t=3. $$
Следовательно, $$\{x,y\}=\{2,3\}.$$
б) Обозначим $$s=x+y,$$ $$p=xy.$$ Тогда из первого уравнения
$$ p-3s=-9 \quad \Rightarrow \quad p=3s-9. $$
Во втором уравнении:
$$ x^2+y^2-5x-5y=-10, $$
то есть
$$ s^2-2p-5s=-10. $$
Подставим $$p=3s-9$$:
$$ s^2-2(3s-9)-5s=-10, $$
$$ s^2-11s+28=0. $$
Тогда
$$ s=4 \text{ или } s=7. $$
Если $$s=4,$$ то $$p=3,$$ и
$$ t^2-4t+3=0 \Rightarrow t=1 \text{ или } t=3. $$
Если $$s=7,$$ то $$p=12,$$ и
$$ t^2-7t+12=0 \Rightarrow t=3 \text{ или } t=4. $$
Значит, решения:
$$ (1,3),\ (3,1),\ (3,4),\ (4,3). $$
в) Обозначим $$s=x+y,$$ $$p=xy.$$ Тогда из первого уравнения
$$ s+p=5 \quad \Rightarrow \quad s=5-p. $$
Подставим во второе:
$$ p(x+y)=6 \quad \Rightarrow \quad p(5-p)=6. $$
Получаем
$$ p^2-5p+6=0, $$
откуда
$$ p=2 \text{ или } p=3. $$
Если $$p=2,$$ то $$s=3,$$ и
$$ t^2-3t+2=0 \Rightarrow t=1 \text{ или } t=2. $$
Если $$p=3,$$ то $$s=2,$$ и
$$ t^2-2t+3=0, $$
действительных корней нет.
Значит,
$$ (x,y)=(1,2),\ (2,1). $$
г) Обозначим $$s=x+y,$$ $$p=xy.$$ Тогда из первого уравнения
$$ p-7s=-9 \quad \Rightarrow \quad p=7s-9. $$
Во втором уравнении:
$$ x^2+y^2+11(x+y)=16, $$
то есть
$$ s^2-2p+11s=16. $$
Подставим $$p=7s-9$$:
$$ s^2-2(7s-9)+11s=16, $$
$$ s^2-3s+2=0. $$
Тогда
$$ s=1 \text{ или } s=2. $$
Если $$s=1,$$ то $$p=-2,$$ и
$$ t^2-t-2=0 \Rightarrow t=-1 \text{ или } t=2. $$
Если $$s=2,$$ то $$p=5,$$ и
$$ t^2-2t+5=0, $$
действительных корней нет.
Следовательно,
$$ (x,y)=(-1,2),\ (2,-1). $$