Упр.2.20 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.20. а) х2 + у2 = 16; б) х2 + у2 — 6х + 4у = 12; в) х2 + у2 + 4х + 2у = 4; г) 4(х2 + у2) + 12х + 20у + 34 = 0.
Приведём уравнения к каноническому виду, выделяя полные квадраты.
$$x^2+y^2=16.$$
Это окружность с центром $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=4$$.
$$x^2+y^2-6x+4y=12.$$
Перенесём число $$12$$ в левую часть и дополним до квадратов:
$$x^2-6x+y^2+4y=12$$
$$x^2-6x+9+y^2+4y+4=25$$
$$\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=25.$$
Значит, центр окружности $$O(3;-2)$$, радиус $$R=5$$.
$$x^2+y^2+4x+2y=4.$$
Дополняем до квадратов:
$$x^2+4x+y^2+2y=4$$
$$x^2+4x+4+y^2+2y+1=9$$
$$\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=9.$$
Следовательно, центр окружности $$O(-2;-1)$$, радиус $$R=3$$.
$$4\left(x^2+y^2\right)+12x+20y+34=0.$$
Разделим на $$4$$:
$$x^2+y^2+3x+5y+\frac{17}{2}=0.$$
Перенесём свободный член и дополним до квадратов:
$$x^2+3x+y^2+5y=-\frac{17}{2}$$
$$x^2+3x+\frac{9}{4}+y^2+5y+\frac{25}{4}=-\frac{17}{2}+\frac{9}{4}+\frac{25}{4}$$
$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2=0.$$
Это вырожденная окружность — точка с координатами $$\left(-\frac{3}{2};-\frac{5}{2}\right)$$.
Ответ
а) окружность с центром $$O(0;0)$$ и радиусом $$4$$; б) окружность с центром $$O(3;-2)$$ и радиусом $$5$$; в) окружность с центром $$O(-2;-1)$$ и радиусом $$3$$; г) точка $$\left(-\frac{3}{2};-\frac{5}{2}\right)$$.
