Упр.2.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Подробный ответ

Обозначим $$x+y=-7,\quad xy=-1.$$

а) Преобразуем выражение:

$$ \frac{|x-y|}{xy^2+x^2y}+2\left|\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right| = \frac{|x-y|}{xy(x+y)}+2\left|\frac{x^2-y^2}{xy}\right|. $$

Так как

$$ |x-y|=\sqrt{(x-y)^2}=\sqrt{(x+y)^2-4xy}=\sqrt{49+4}=\sqrt{53}, $$

то

$$ \frac{|x-y|}{xy(x+y)}=\frac{\sqrt{53}}{(-1)\cdot(-7)}=\frac{\sqrt{53}}{7}. $$

Далее

$$ |x^2-y^2|=|x-y|\cdot|x+y|=\sqrt{53}\cdot 7, $$

поэтому

$$ 2\left|\frac{x^2-y^2}{xy}\right| = 2\cdot \frac{7\sqrt{53}}{|-1|} = 14\sqrt{53}. $$

Тогда

$$ \frac{\sqrt{53}}{7}+14\sqrt{53} = \frac{\sqrt{53}}{7}+\frac{98\sqrt{53}}{7} = \frac{99\sqrt{53}}{7}. $$

б) Упростим выражение:

$$ \frac{|x^4-y^4|}{xy^3+x^3y}+\left|\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}\right| = \frac{|x^2-y^2|\cdot|x^2+y^2|}{xy(x^2+y^2)} +\left|\frac{x^4-y^4}{x^2y^2}\right|. $$

Так как

$$ |x^2-y^2|=|x-y|\cdot|x+y|=\sqrt{53}\cdot 7, $$

а

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=49+2=51, $$

то

$$ \frac{|x^2-y^2|\cdot|x^2+y^2|}{xy(x^2+y^2)} = \frac{7\sqrt{53}}{-1} = -7\sqrt{53}. $$

Кроме того,

$$ \left|\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}\right| = \left|\frac{x^4-y^4}{x^2y^2}\right| = \frac{|x^2-y^2|\cdot|x^2+y^2|}{|x^2y^2|} = 7\sqrt{53}\cdot 51 = 357\sqrt{53}. $$

Тогда

$$ -7\sqrt{53}+357\sqrt{53}=350\sqrt{53}. $$