Упр.2.19 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.19. а) (2х + у — 5)2 — (х + у — З)2 = 0; б) (2x + у — 5)2 + (x + у — 3)2 =0.

а) Разность квадратов:

$$ (2x+y-5)^2-(x+y-3)^2=0 $$
$$ \bigl((2x+y-5)-(x+y-3)\bigr)\bigl((2x+y-5)+(x+y-3)\bigr)=0 $$
$$ (x-2)(3x+2y-8)=0 $$
Отсюда:
$$ x-2=0 \quad \text{или} \quad 3x+2y-8=0. $$
Значит,
$$ x=2 \quad \text{или} \quad y=-\frac{3}{2}x+4. $$

б) Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$ (2x+y-5)^2+(x+y-3)^2=0 $$
$$ \begin{cases} 2x+y-5=0,\\ x+y-3=0. \end{cases} $$
Вычтем из первого уравнения второе:
$$ x-2=0 \Rightarrow x=2. $$
Подставим в $x+y-3=0$:
$$ 2+y-3=0 \Rightarrow y=1. $$

Ответ

а) $$x=2$$ или $$y=-\frac{3}{2}x+4$$;
б) $$(x,y)=(2,1).$$