Упр.2.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.9. Пусть х + у = -3, а ху = -5. Найдите значение выражения: а) х2 + у2;б) x3+y3в) х4 + у4;г) х2у7 + х7у2.

Используем формулы приведения к симметрическим выражениям. Дано: $$x+y=-3,\quad xy=-5.$$

1. $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$$

   $$x^2+y^2=(-3)^2-2\cdot(-5)=9+10=19.$$

2. $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)\bigl((x+y)^2-3xy\bigr)$$

   $$x^3+y^3=-3\bigl((-3)^2-3\cdot(-5)\bigr)=-3(9+15)=-72.$$

3. $$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$$

   $$x^4+y^4=19^2-2\cdot(-5)^2=361-50=311.$$

4. $$x^2y^7+x^7y^2=x^2y^2(x^5+y^5)=(xy)^2(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)$$

   $$x^5+y^5=(x+y)\bigl((x^2+y^2)^2-xy(x^2+y^2)-x^2y^2\bigr).$$

   Подставим найденные значения:

   $$x^5+y^5=-3\bigl(19^2-(-5)\cdot 19-25\bigr)=-3(361+95-25)=-3\cdot 431=-1293.$$

   Тогда

   $$x^2y^7+x^7y^2=(xy)^2(x^5+y^5)=25\cdot(-1293)=-32325.$$

Ответ

а) $$19$$; б) $$-72$$; в) $$311$$; г) $$-32325$$.