Упр.2.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.31 а)система x3+xy2=5, y2+x2y=10; б) cистема x3-y3=7, x3-y3=9-x2y+xy2;

а) Обозначим первое уравнение как $$x^3+xy^2=5,$$ второе — как $$y^3+x^2y=10.$$

Вынесем общий множитель:

$$ x(x^2+y^2)=5, \qquad y(x^2+y^2)=10. $$

Так как $$x^2+y^2 \neq 0,$$ разделим второе уравнение на первое:

$$ \frac{y(x^2+y^2)}{x(x^2+y^2)}=\frac{10}{5}, $$
$$ \frac{y}{x}=2, $$
$$ y=2x. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ x^3+x(2x)^2=5, $$
$$ x^3+4x^3=5, $$
$$ 5x^3=5, $$
$$ x^3=1, $$
$$ x=1. $$

Тогда

$$ y=2\cdot 1=2. $$

б) Из второго уравнения системы

$$ x^3-y^3=9-x^2y+xy^2 $$
получаем

$$ x^3-y^3-9+x^2y-xy^2=0. $$

Перенесём первое уравнение $$x^3-y^3=7$$ и вычтем его из второго:

$$ (x^3-y^3-9+x^2y-xy^2)-(x^3-y^3-7)=0, $$
$$ x^2y-xy^2-2=0, $$
$$ xy(x-y)=2. $$

Из первого уравнения:

$$ x^3-y^3=7, $$
$$ (x-y)(x^2+xy+y^2)=7. $$

Так как $$xy(x-y)=2,$$ то

$$ x-y=\frac{2}{xy}. $$

Подставим в разложение разности кубов:

$$ \frac{2}{xy}(x^2+xy+y^2)=7. $$

Умножим на $$xy$$:

$$ 2(x^2+xy+y^2)=7xy, $$
$$ 2x^2-5xy+2y^2=0. $$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$ 2x^2-5yx+2y^2=0. $$

Дискриминант:

$$ D=25y^2-16y^2=9y^2. $$

Тогда

$$ x=\frac{5y\pm 3y}{4}. $$

Получаем два случая:

$$ x=2y \quad \text{или} \quad x=\frac{y}{2}. $$

1) Если $$x=2y,$$ то из $$xy(x-y)=2$$ имеем

$$ 2y\cdot y \cdot (2y-y)=2, $$
$$ 2y^3=2, $$
$$ y^3=1, $$
$$ y=1,\quad x=2. $$

2) Если $$x=\frac{y}{2},$$ то

$$ \frac{y}{2}\cdot y \cdot \left(\frac{y}{2}-y\right)=2, $$
$$ -\frac{y^3}{4}=2, $$
$$ y^3=-8, $$
$$ y=-2,\quad x=-1. $$

Оба найденных решения удовлетворяют системе.

Ответ

а) $$ (1; 2) $$

б) $$ (-1; -2),\ (2; 1) $$