Упр.2.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.28 а) система x2+x(y-1)-2(y-1)2=0, x2+xy+y=1; б) система x2+x(y-1)+(y-1)2=3, x2+y2=2y+1;

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+x(y-1)-2(y-1)^2=0,\\ x^2+xy+y=1. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем
$$x^2+x(y-1)+(y-1)=0.$$
Вычтем его из первого:
$$ x^2+x(y-1)-2(y-1)^2-\bigl(x^2+x(y-1)+(y-1)\bigr)=0, $$
$$ -2(y-1)^2-(y-1)=0, $$
$$ (y-1)\bigl(2(y-1)+1\bigr)=0. $$
Отсюда
$$y=1 \quad \text{или} \quad y=\frac12.$$
1) Если $$y=1$$, то из второго уравнения
$$x^2+x=0,$$
$$x(x+1)=0,$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-1.$$
Получаем точки $$\,(0;1)$$ и $$(-1;1).$$
2) Если $$y=\frac12$$, то из второго уравнения
$$ x^2-\frac12x-\frac12=0. $$
$$ 2x^2-x-1=0, $$
$$ (2x+1)(x-1)=0. $$
Следовательно, $$x=-\frac12$$ или $$x=1.$$
Получаем точки $$\left(-\frac12;\frac12\right)$$ и $$\left(1;\frac12\right).$$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+x(y-1)+(y-1)^2=3,\\ x^2+y^2=2y+1. \end{cases} $$
Второе уравнение преобразуем:
$$ x^2+(y-1)^2=2. $$
Вычтем его из первого:
$$ x(y-1)=1. $$
Тогда
$$ y-1=\frac1x,\qquad y=\frac1x+1. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ x^2+\left(\frac1x\right)^2=2. $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ x^4+1=2x^2, $$
$$ x^4-2x^2+1=0, $$
$$ (x^2-1)^2=0. $$
Значит, $$x^2=1,$$ откуда $$x=\pm1.$$
Если $$x=1,$$ то $$y=2.$$
Если $$x=-1,$$ то $$y=0.$$