Упр.2.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.27 а) система x2+4|x|y-3y2=2, x2-|x|y+5y2=5; б) система 3×2-y2=11, x2+2|x||y|-y2=7

а) Обозначим $$z=|x|.$$ Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} z^2+4zy-3y^2=2,\\ z^2-zy+5y^2=5. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$5$$, второе — на $$2$$ и вычтем:

$$ \begin{cases} 5z^2+20zy-15y^2=10,\\ 2z^2-2zy+10y^2=10, \end{cases} $$

$$ 3z^2+22zy-25y^2=0. $$

Так как $$z^2= z\cdot z$$, получаем

$$ 3z^2-3zy+25zy-25y^2=0, $$

$$ 3z(z-y)+25y(z-y)=0, $$

$$ (3z+25y)(z-y)=0. $$

Отсюда либо $$z=y$$, либо $$z=-\dfrac{25y}{3}.$$

1) Если $$z=y,$$ то

$$ y^2+4y\cdot y-3y^2=2, $$

$$ 2y^2=2, $$

$$ y^2=1,\quad y=\pm1. $$

Так как $$z=|x|=y,$$ то $$y\ge 0,$$ значит $$y=1,$$ и тогда $$|x|=1,$$ то есть $$x=\pm1.$$

2) Если $$z=-\dfrac{25y}{3},$$ то подставим в первое уравнение:

$$ \left(-\frac{25y}{3}\right)^2+4y\left(-\frac{25y}{3}\right)-3y^2=2, $$

$$ \frac{625y^2}{9}-\frac{100y^2}{3}-3y^2=2, $$

$$ \frac{625y^2-300y^2-27y^2}{9}=2, $$

$$ 298y^2=18, $$

$$ y^2=\frac{9}{149},\quad y=\pm\frac{3}{\sqrt{149}}. $$

Тогда

$$ |x|=z=-\frac{25y}{3}. $$

При $$y=-\dfrac{3}{\sqrt{149}}$$ получаем

$$ |x|=\frac{25}{\sqrt{149}}, $$

то есть $$x=\pm\dfrac{25}{\sqrt{149}}.$$

б) Обозначим $$z=|x|,\; t=|y|.$$ Тогда система равносильна

$$ \begin{cases} 3z^2-t^2=11,\\ z^2+2zt-t^2=7. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$7,$$ второе — на $$11$$ и вычтем:

$$ \begin{cases} 21z^2-7t^2=77,\\ 11z^2+22zt-11t^2=77, \end{cases} $$

$$ 10z^2-22zt+4t^2=0, $$

$$ 5z^2-11zt+2t^2=0, $$

$$ 5z^2-10zt-zt+2t^2=0, $$

$$ 5z(z-2t)-t(z-2t)=0, $$

$$ (5z-t)(z-2t)=0. $$

Значит, либо $$t=5z,$$ либо $$z=2t.$$

1) Если $$t=5z,$$ то

$$ 3z^2-(5z)^2=11, $$

$$ 3z^2-25z^2=11, $$

$$ -22z^2=11, $$

что невозможно.

2) Если $$z=2t,$$ то

$$ 3(2t)^2-t^2=11, $$

$$ 12t^2-t^2=11, $$

$$ 11t^2=11, $$

$$ t^2=1,\quad t=1. $$

Тогда $$z=2,$$ то есть $$|x|=2,\ |y|=1.$$ Следовательно,

$$ x=\pm2,\quad y=\pm1. $$

Ответ

а) $$\left(\pm1;\,1\right),\ \left(\frac{25}{\sqrt{149}};\,-\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ \left(-\frac{25}{\sqrt{149}};\,-\frac{3}{\sqrt{149}}\right);$$ б) $$(-2;\,-1),\ (-2;\,1),\ (2;\,-1),\ (2;\,1).$$