Упр.2.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.26 а)система x2+3xy+2y2=0, 2×2+xy=25; б)система x2+xy-3y2=-23, x2-y2-2xy=-14; в)система 2×3+xy-3y2=0, x2-y2+xy=4; г)система x2+3xy=7, y2+xy=6;

1. а)

   $$x^2+3xy+2y^2=0$$
   $$x^2+xy+2xy+2y^2=0$$
   $$x(x+y)+2y(x+y)=0$$
   $$\left(x+2y\right)\left(x+y\right)=0$$

   Отсюда:

   $$x+2y=0 \quad \text{или} \quad x+y=0$$

   1) Если $$x=-2y$$, то

   $$2x^2+xy=25$$
   $$2( -2y)^2+(-2y)y=25$$
   $$8y^2-2y^2=25$$
   $$6y^2=25$$
   $$y=\pm \frac{5\sqrt6}{6}, \quad x=\mp \frac{5\sqrt6}{3}$$

   2) Если $$x=-y$$, то

   $$2x^2+xy=25$$
   $$2(-y)^2+(-y)y=25$$
   $$y^2=25$$
   $$y=\pm 5, \quad x=\mp 5$$

2. б)

   $$x^2+xy-3y^2=-23$$
   $$x^2-y^2-2xy=-14$$

   Умножим первое уравнение на $$14$$, а второе на $$-23$$:

   $$14x^2+14xy-42y^2=-322$$
   $$-23x^2+23y^2+46xy=322$$

   Сложим:

   $$-9x^2+60xy-19y^2=0$$
   $$9x^2-60xy+19y^2=0$$
   $$9x^2-3xy-57xy+19y^2=0$$
   $$3x(3x-y)-19y(3x-y)=0$$
   $$\left(3x-19y\right)\left(3x-y\right)=0$$

   Значит,

   $$3x-19y=0 \quad \text{или} \quad 3x-y=0$$

   1) Если $$x=\frac{19}{3}y$$, то

   $$x^2-y^2-2xy=-14$$
   $$\left(\frac{19}{3}y\right)^2-y^2-2\cdot \frac{19}{3}y^2=-14$$
   $$\frac{361}{9}y^2-\frac{9}{9}y^2-\frac{114}{9}y^2=-14$$
   $$\frac{238}{9}y^2=-14$$

   Получаем противоречие, так как $$y^2<0$$ невозможно.

   2) Если $$x=\frac{y}{3}$$, то

   $$x^2-y^2-2xy=-14$$
   $$\left(\frac{y}{3}\right)^2-y^2-2\cdot \frac{y}{3}\cdot y=-14$$
   $$\frac{1}{9}y^2-y^2-\frac{2}{3}y^2=-14$$
   $$-\frac{14}{9}y^2=-14$$
   $$y^2=9$$
   $$y=\pm 3$$

   Тогда $$x=\pm 1$$.

3. в)

   $$2x^2+xy-3y^2=0$$
   $$x^2-y^2+xy=4$$

   Первое уравнение разложим на множители:

   $$2x^2+xy-3y^2=2x^2+3xy-2xy-3y^2=0$$
   $$x(2x+3y)-y(2x+3y)=0$$
   $$\left(2x+3y\right)\left(x-y\right)=0$$

   Следовательно,

   $$2x+3y=0 \quad \text{или} \quad x-y=0$$

   1) Если $$x=-\frac{3}{2}y$$, то

   $$x^2-y^2+xy=4$$
   $$\left(-\frac{3}{2}y\right)^2-y^2+y\left(-\frac{3}{2}y\right)=4$$
   $$\frac{9}{4}y^2-y^2-\frac{3}{2}y^2=4$$
   $$\frac{1}{4}y^2=4$$
   $$y^2=16$$
   $$y=\pm 4,\quad x=\mp 6$$

   2) Если $$x=y$$, то

   $$x^2-y^2+xy=4$$
   $$y^2-y^2+y^2=4$$
   $$y^2=4$$
   $$y=\pm 2,\quad x=\pm 2$$

4. г)

   $$x^2+3xy=7$$
   $$y^2+xy=6$$

   Умножим первое уравнение на $$6$$, второе на $$7$$:

   $$6x^2+18xy=42$$
   $$7y^2+7xy=42$$

   Вычтем второе из первого:

   $$6x^2+11xy-7y^2=0$$
   $$6x^2+14xy-3xy-7y^2=0$$
   $$2x(3x+7y)-y(3x+7y)=0$$
   $$\left(2x-y\right)\left(3x+7y\right)=0$$

   Значит,

   $$2x-y=0 \quad \text{или} \quad 3x+7y=0$$

   1) Если $$y=2x$$, то

   $$x^2+3x\cdot 2x=7$$
   $$7x^2=7$$
   $$x^2=1$$
   $$x=\pm 1,\quad y=\pm 2$$

   2) Если $$3x+7y=0$$, то $$y=-\frac{3x}{7}$$. Подстановка в первое уравнение даёт

   $$x^2+3x\left(-\frac{3x}{7}\right)=7$$
   $$7x^2-9x^2=49$$
   $$-2x^2=49$$

   Решений нет.

Ответ

а) $$\left(-\frac{5\sqrt6}{3};\frac{5\sqrt6}{6}\right),\ \left(\frac{5\sqrt6}{3};-\frac{5\sqrt6}{6}\right),\ (-5;5),\ (5;-5)$$
б) $$(-1;-3),\ (1;3)$$
в) $$(-2;-2),\ (2;2)$$
г) $$(-1;-2),\ (1;2)$$