Упр.2.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.25 а) система x2-xy-2y2=0, x2+y2=20; б) система x2+3xy+9y2=12, x2+3xy+2y2=0;
а) Из первого уравнения вынесем общий множитель:
$$x^2-xy-2y^2=x^2+xy-2xy-2y^2=(x-2y)(x+y)=0.$$
Значит, либо $$x=2y,$$ либо $$x=-y.$$
Если $$x=2y,$$ то из второго уравнения:
$$x^2+y^2=20 \Rightarrow (2y)^2+y^2=20 \Rightarrow 5y^2=20 \Rightarrow y^2=4,$$
откуда $$y=\pm 2,$$ $$x=\pm 4.$$
Если $$x=-y,$$ то:
$$x^2+y^2=20 \Rightarrow (-y)^2+y^2=20 \Rightarrow 2y^2=20 \Rightarrow y^2=10,$$
откуда $$y=\pm \sqrt{10},$$ $$x=\mp \sqrt{10}.$$
б) Второе уравнение преобразуем:
$$x^2+3xy+2y^2=x^2+xy+2xy+2y^2=x(x+y)+2y(x+y)=(x+2y)(x+y)=0.$$
Значит, либо $$x=-2y,$$ либо $$x=-y.$$
Если $$x=-2y,$$ то из первого уравнения:
$$x^2+3xy+9y^2=12 \Rightarrow (-2y)^2+3y(-2y)+9y^2=12,$$
$$4y^2-6y^2+9y^2=12 \Rightarrow 7y^2=12 \Rightarrow y^2=\frac{12}{7}.$$
Тогда
$$y=\pm \sqrt{\frac{12}{7}}=\pm 2\sqrt{\frac{3}{7}}, \qquad x=\mp 4\sqrt{\frac{3}{7}}.$$
Если $$x=-y,$$ то:
$$x^2+3xy+9y^2=12 \Rightarrow (-y)^2+3y(-y)+9y^2=12,$$
$$y^2-3y^2+9y^2=12 \Rightarrow 7y^2=12 \Rightarrow y=\pm 2\sqrt{\frac{3}{7}},$$
а значит $$x=\mp 2\sqrt{\frac{3}{7}}.$$
Ответ
а) $$(-\sqrt{10};\sqrt{10}),\ (\sqrt{10};-\sqrt{10}),\ (-4;-2),\ (4;2).$$
б) $$\left(-2\sqrt{\frac{3}{7}};2\sqrt{\frac{3}{7}}\right),\ \left(2\sqrt{\frac{3}{7}};-2\sqrt{\frac{3}{7}}\right),\ \left(-4\sqrt{\frac{3}{7}};2\sqrt{\frac{3}{7}}\right),\ \left(4\sqrt{\frac{3}{7}};-2\sqrt{\frac{3}{7}}\right).$$
