Упр.2.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.13. Найдите отношение f(kx;ky)/f(x;y), если: а) f(x; у) = 2х2 + 5ху — 7у2; б) f(x; у) = х4 + 12х3у — 7х2у2 + 2ху3 — 2у4; в) f(x; у) = (3х — 5y)3 + 2х(х + у)2 — 7y2(2x — у); г) f(х; у) = (х +y)6 + (5х2 — 4y2)3 — 7(х3 — у3)2 + x3y3.
а) $$f(x;y)=2x^2+5xy-7y^2$$
Подставим $$kx$$ и $$ky$$ вместо $$x$$ и $$y$$:
$$ f(kx;ky)=2(kx)^2+5(kx)(ky)-7(ky)^2 $$
$$ f(kx;ky)=k^2(2x^2+5xy-7y^2)=k^2f(x;y) $$
Следовательно,
$$ \frac{f(kx;ky)}{f(x;y)}=k^2 $$
б) $$f(x;y)=x^4+12x^3y-7x^2y^2+2xy^3-2y^4$$
$$ f(kx;ky)=(kx)^4+12(kx)^3(ky)-7(kx)^2(ky)^2+2(kx)(ky)^3-2(ky)^4 $$
$$ f(kx;ky)=k^4(x^4+12x^3y-7x^2y^2+2xy^3-2y^4)=k^4f(x;y) $$
Значит,
$$ \frac{f(kx;ky)}{f(x;y)}=k^4 $$
в) $$f(x;y)=(3x-5y)^3+2x(x+y)^2-7y^2(2x-y)$$
$$ f(kx;ky)=(3kx-5ky)^3+2kx(kx+ky)^2-7(ky)^2(2kx-ky) $$
$$ f(kx;ky)=k^3(3x-5y)^3+2kx\cdot k^2(x+y)^2-7k^2y^2\cdot k(2x-y) $$
$$ f(kx;ky)=k^3\bigl((3x-5y)^3+2x(x+y)^2-7y^2(2x-y)\bigr)=k^3f(x;y) $$
Следовательно,
$$ \frac{f(kx;ky)}{f(x;y)}=k^3 $$
г) $$f(x;y)=(x+y)^6+(5x^2-4y^2)^3-7(x^3-y^3)^2+x^3y^3$$
$$ f(kx;ky)=(kx+ky)^6+\bigl(5(kx)^2-4(ky)^2\bigr)^3-7\bigl((kx)^3-(ky)^3\bigr)^2+(kx)^3(ky)^3 $$
$$ f(kx;ky)=k^6(x+y)^6+k^6(5x^2-4y^2)^3-7k^6(x^3-y^3)^2+k^6x^3y^3 $$
$$ f(kx;ky)=k^6f(x;y) $$
Значит,
$$ \frac{f(kx;ky)}{f(x;y)}=k^6 $$
Ответ
а) $$k^2$$; б) $$k^4$$; в) $$k^3$$; г) $$k^6$$.
