Упр.2.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.7. а) Докажите, что сумма 17^11 + 5^11 делится без остатка на 22. б) Докажите, что разность 13^9 — 7^9 делится без остатка на 6.

а) Используем формулу суммы нечётной степени:

$$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)\left(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-\dots-ab^{2n-1}+b^{2n}\right).$$

Тогда

$$17^{11}+5^{11}=(17+5)\left(17^{10}-17^9\cdot 5+17^8\cdot 5^2-\dots-17\cdot 5^9+5^{10}\right).$$

Так как $$17+5=22,$$ то

$$17^{11}+5^{11}=22\left(17^{10}-17^9\cdot 5+17^8\cdot 5^2-\dots-17\cdot 5^9+5^{10}\right),$$

значит, сумма $$17^{11}+5^{11}$$ делится на $$22$$.

б) Аналогично, разность нечётных степеней раскладывается так:

$$a^{2n+1}-b^{2n+1}=(a-b)\left(a^{2n}+a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2+\dots+ab^{2n-1}+b^{2n}\right).$$

Тогда

$$13^9-7^9=(13-7)\left(13^8+13^7\cdot 7+13^6\cdot 7^2+\dots+13\cdot 7^7+7^8\right).$$

Так как $$13-7=6,$$ то

$$13^9-7^9=6\left(13^8+13^7\cdot 7+13^6\cdot 7^2+\dots+13\cdot 7^7+7^8\right),$$

значит, разность $$13^9-7^9$$ делится на $$6$$.

Ответ

а) $$17^{11}+5^{11}$$ делится на $$22$$; б) $$13^9-7^9$$ делится на $$6$$.