Упр.19.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.9. Найдите угол, образованный касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой х0 с положительным направлением оси абсцисс: а) h(x) = 1/5е(5x-1), х0 = 0,2; б) h(х) = е(-x + корень 3), х0 = -корень 3; в) h(x) = 1/3е(1-3x), х0 = 1/3; г) h(x) = е(корень 3/3*x — 1) , х0 = корень 3.

1. Угол наклона касательной к оси абсцисс находим по формуле $$\tan \alpha = h'(x_0).$$

2. а) $$h(x)=\frac{1}{5}e^{5x-1}, \quad x_0=0{,}2.$$

   $$h'(x)=\frac{1}{5}\cdot 5e^{5x-1}=e^{5x-1}.$$

   $$h'(0{,}2)=e^{5\cdot 0{,}2-1}=e^0=1.$$

   Тогда $$\tan \alpha =1,$$ значит $$\alpha=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$$

3. б) $$h(x)=e^{-x+\sqrt{3}}, \quad x_0=-\sqrt{3}.$$

   $$h'(x)=\left(e^{-x+\sqrt{3}}\right)’=-e^{-x+\sqrt{3}}.$$

   $$h'(-\sqrt{3})=-e^{-(-\sqrt{3})+\sqrt{3}}=-e^0=-1.$$

   Значит, $$\tan \alpha=-1,$$ поэтому

   $$\alpha=\pi-\arctan 1=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.$$

4. в) $$h(x)=\frac{1}{3}e^{1-3x}, \quad x_0=\frac{1}{3}.$$

   $$h'(x)=\frac{1}{3}\cdot (-3)e^{1-3x}=-e^{1-3x}.$$

   $$h’\left(\frac{1}{3}\right)=-e^{1-3\cdot \frac{1}{3}}=-e^0=-1.$$

   Следовательно, $$\alpha=\frac{3\pi}{4}.$$

5. г) $$h(x)=e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}, \quad x_0=\sqrt{3}.$$

   $$h'(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}.$$

   $$h'(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{3}e^{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}e^0=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Тогда

   $$\tan \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \alpha=\arctan \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{4}$$; б) $$\frac{3\pi}{4}$$; в) $$\frac{3\pi}{4}$$; г) $$\frac{\pi}{6}$$.