Упр.19.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х0: а) f(x) = 4ех +3, х0 = -2; б) f(x) = корень 3 степени x * ех, х0 = 1; в) f(x) = 0,1ех — 10х, х0 = 0; г) f(x) = корень x/ex, х0 = 1.

1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке: $$k=f'(x_0).$$

   а) $$f(x)=4e^x+3,$$ $$x_0=-2.$$

   $$f'(x)=4e^x,$$

   $$k=f'(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}.$$

2. б) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\cdot e^x,$$ $$x_0=1.$$

   По правилу произведения:

   $$f'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’e^x+\sqrt[3]{x}\,(e^x)’=\frac{1}{3x^{2/3}}e^x+\sqrt[3]{x}\,e^x.$$

   Тогда

   $$f'(1)=\frac{1}{3}\,e+1\cdot e=\frac{4e}{3}.$$

3. в) $$f(x)=0{,}1e^x-10x,$$ $$x_0=0.$$

   $$f'(x)=0{,}1e^x-10,$$

   $$k=f'(0)=0{,}1\cdot e^0-10=0{,}1-10=-9{,}9.$$

4. г) $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^x},$$ $$x_0=1.$$

   Представим функцию как $$f(x)=\sqrt{x}\cdot e^{-x}.$$ Тогда

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x}+\sqrt{x}\cdot(-e^{-x})=e^{-x}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right).$$

   Подставим $$x=1$$:

   $$f'(1)=e^{-1}\left(\frac12-1\right)=-\frac{1}{2e}.$$

Ответ

а) $$\frac{4}{e^2}$$; б) $$\frac{4e}{3}$$; в) $$-9{,}9$$; г) $$-\frac{1}{2e}$$.