Упр.19.46 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.46. Расположите комплексные числа в порядке возрастания их аргументов: z1= log2(0,7) + ilog 0,5(7), z2 = ln 10 + ilge, z3 = ln Пи + iln(Пи — 3), z4 = log3(0,3) + log 0,3(0,9). (Указание, -Пи < arg z меньше или равно Пи.)

Подробный ответ

Найдём, в каких четвертях комплексной плоскости расположены данные числа.

$$ z_1=\log_2 0{,}7+i\log_{0{,}5}7 $$
Так как $$0{,}7<1,$$ то $$\log_2 0{,}7<0.$$
Кроме того, $$0{,}5<1$$ и $$7>1,$$ значит $$\log_{0{,}5}7<0.$$
Следовательно, $$z_1$$ лежит в III четверти.

$$ z_2=\ln 10+i\lg e $$
Здесь $$\ln 10>0,$$ а $$\lg e>0,$$ значит $$z_2$$ лежит в I четверти.

$$ z_3=\ln \pi+i\ln(\pi-3) $$
Так как $$\pi>1,$$ то $$\ln \pi>0.$$
Кроме того, $$\pi-3\approx 0{,}14,$$ значит $$0<\pi-3<1,$$ и потому $$\ln(\pi-3)<0.$$
Следовательно, $$z_3$$ лежит в IV четверти.

$$ z_4=\log_3 0{,}3+i\log_{0{,}3}0{,}9 $$
Так как $$0{,}3<1,$$ то $$\log_3 0{,}3<0.$$
Поскольку $$0<0{,}3<1$$ и $$0<0{,}9<1,$$ а основание $$0{,}3<1,$$ то $$\log_{0{,}3}0{,}9>0.$$
Значит, $$z_4$$ лежит во II четверти.

Аргументы комплексных чисел по возрастанию идут так: III четверть, IV четверть, I четверть, II четверть.

$$ z_1,\ z_3,\ z_2,\ z_4 $$