Упр.19.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.45. На графике функции у = х — ln (2х — 5) выбирают произвольную точку М и соединяют с началом координат О. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок ОМ, а две стороны расположены на осях координат. Найдите наименьшее значение периметра такого прямоугольника.

Пусть точка $$M(x;y)$$ лежит на графике функции $$y=x-\ln(2x-5).$$ Тогда стороны прямоугольника, лежащие на осях координат, имеют длины $$x$$ и $$y$$, а его периметр равен

$$P=2(x+y).$$

Так как $$y=x-\ln(2x-5),$$ получаем

$$P(x)=2\bigl(x+x-\ln(2x-5)\bigr)=4x-2\ln(2x-5).$$

Найдём область определения:

$$2x-5>0,\quad x>2{,}5.$$

Исследуем функцию $$P(x)$$ на минимум:

$$P'(x)=4-2\cdot \frac{2}{2x-5}=4-\frac{4}{2x-5}=\frac{8x-24}{2x-5}=8\cdot \frac{x-3}{2x-5}.$$

На области определения $$2x-5>0,$ поэтому знак производной определяется числителем $$x-3.$$

Следовательно, $$P(x)$$ убывает при $$2{,}5<x<3$$ и возрастает при $$x>3,$ значит, минимум достигается при $$x=3.$$

Тогда

$$P_{\min}=P(3)=4\cdot 3-2\ln(2\cdot 3-5)=12-2\ln 1=12.$$

Ответ

$$12$$