Упр.19.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.44. а) у = ln (х2 — 2х — 3); б) у = ln(3 + 2х — х2).

а) $$y=\ln(x^2-2x-3)$$

Найдём область определения:

$$x^2-2x-3>0$$

$$ (x+1)(x-3)>0 $$

Отсюда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Производная:

$$y’=\frac{2x-2}{x^2-2x-3}.$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:

$$2x-2=0 \Rightarrow x=1.$$

Точка $$x=1$$ не принадлежит области определения, значит, критических точек нет. Функция возрастает на каждом промежутке области определения.

Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=3$$.

Найдём точки пересечения с осью абсцисс:

$$\ln(x^2-2x-3)=0$$

$$x^2-2x-3=1$$

$$x^2-2x-4=0$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt5.$$

Из них подходят только значения из области определения:

$$x_1=1-\sqrt5,\quad x_2=1+\sqrt5.$$

График симметричен относительно прямой $$x=1$$, так как

$$x^2-2x-3=(x-1)^2-4.$$

б) $$y=\ln(3+2x-x^2)$$

Найдём область определения:

$$3+2x-x^2>0$$

$$x^2-2x-3<0$$

$$ (x+1)(x-3)<0 $$

Отсюда

$$-1<x<3.$$

Производная:

$$y’=\frac{2-2x}{3+2x-x^2}.$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому

$$y’=0 \Rightarrow 2-2x=0 \Rightarrow x=1.$$

Это точка максимума, так как при $$x<1$$ производная положительна, а при $$x>1$$ отрицательна.

$$y_{\max}=y(1)=\ln(3+2\cdot1-1^2)=\ln4.$$

Точки пересечения с осью абсцисс:

$$\ln(3+2x-x^2)=0$$

$$3+2x-x^2=1$$

$$x^2-2x-2=0$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt3.$$

Точка пересечения с осью ординат:

$$y(0)=\ln3.$$

Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=3$$.

График симметричен относительно прямой $$x=1$$, так как

$$3+2x-x^2=4-(x-1)^2.$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(3;+\infty),$$ вертикальные асимптоты $$x=-1$$ и $$x=3,$$ нули функции $$x=1\pm\sqrt5.$$

б) $$D(y)=(-1;3),$$ точка максимума $$\left(1;\ln4\right),$$ нули функции $$x=1\pm\sqrt3,$$ $$y(0)=\ln3.$$