Упр.19.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.43. а) у = х2ех;б) у = х3ех.

а) Рассмотрим функцию $$y=x^2e^{-x}.$$

Найдём производную:

$$ y'(x)=(x^2)’e^{-x}+x^2(e^{-x})’ = 2xe^{-x}-x^2e^{-x}=xe^{-x}(2-x). $$

Так как $$e^{-x}>0$$ при любом $$x$$, знак производной определяется выражением $$x(2-x)$$.

Тогда

$$ y'(x)\ge 0 \iff x(2-x)\ge 0 \iff 0\le x\le 2. $$

Значит, функция возрастает на отрезке $$[0;2]$$, убывает на промежутках $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty).$$

Найдём значения в точках экстремума:

$$ y(0)=0^2e^0=0,\qquad y(2)=2^2e^{-2}=\frac{4}{e^2}. $$

При $$x\to +\infty$$ имеем

$$ x^2e^{-x}=\frac{x^2}{e^x}\to 0, $$

поэтому $$y=0$$ — горизонтальная асимптота при $$x\to +\infty.$$

Для построения удобно отметить точки $$ (0;0),\ (2;\frac{4}{e^2}),\ (-1;e). $$

б) Рассмотрим функцию $$y=x^3e^x.$$

Найдём производную:

$$ y'(x)=(x^3)’e^x+x^3(e^x)’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(3+x). $$

Так как $$e^x>0$$ при любом $$x$$, знак производной определяется выражением $$x^2(3+x).$$

Следовательно,

$$ y'(x)\ge 0 \iff x\ge -3, $$

а точка $$x=0$$ является стационарной, но не точкой экстремума.

Функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty).$$

Значение в точке минимума:

$$ y(-3)=(-3)^3e^{-3}=-\frac{27}{e^3}. $$

При $$x\to -\infty$$ имеем

$$ x^3e^x=\frac{x^3}{e^{-x}}\to 0, $$

поэтому $$y=0$$ — горизонтальная асимптота при $$x\to -\infty.$$

Для построения удобно отметить точки $$(-3;-\frac{27}{e^3}),\ (0;0),\ (1;e).$$

Ответ

а) $$y=x^2e^{-x}$$: убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty),$$ возрастает на $$[0;2],$$ минимум в точке $$ (0;0), $$ максимум в точке $$ \left(2;\frac{4}{e^2}\right), $$ горизонтальная асимптота $$y=0$$ при $$x\to +\infty.$$

б) $$y=x^3e^x$$: убывает на $$(-\infty;-3],$$ возрастает на $$[-3;+\infty),$$ минимум в точке $$ \left(-3;-\frac{27}{e^3}\right), $$ точка $$ (0;0) $$ — стационарная, горизонтальная асимптота $$y=0$$ при $$x\to -\infty.$$