Упр.19.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Постройте график функции: 19.42. а) у = е(х2-2х+1);б) у = е(x3-х2-х + 1).

а) $$y=e^{x^2-2x+1}=e^{(x-1)^2}.$$

Так как $$ (x-1)^2 \ge 0, $$ то $$ y \ge e^0=1. $$

Минимум функции достигается при $$x=1$$ и равен $$y_{\min}=1.$$

Найдём несколько точек:

$$ x=0 \Rightarrow y=e^{1}=e, \qquad x=1 \Rightarrow y=1, \qquad x=2 \Rightarrow y=e^{1}=e. $$

График — парабола $$y=e^{(x-1)^2}$$, полученная из графика $$y=e^{x^2}$$ сдвигом вправо на 1. Ось симметрии: $$x=1.$$

б) $$y=e^{x^3-x^2-x+1}=e^{(x-1)^2(x+1)}.$$

Найдём производную:

$$ y’ = e^{x^3-x^2-x+1}(3x^2-2x-1). $$

Так как $$e^{x^3-x^2-x+1}>0,$$ знак производной определяется выражением $$3x^2-2x-1.$$

Решим неравенство $$3x^2-2x-1 \ge 0$$:

$$ D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16, $$
$$ x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}, \qquad x_1=-\frac13,\; x_2=1. $$

$$ 3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1), $$
поэтому
$$ y’ \ge 0 \text{ при } x \le -\frac13 \text{ и } x \ge 1. $$

Следовательно, функция возрастает на промежутках $$(-\infty,-\tfrac13]$$ и $$[1,+\infty),$$ убывает на $$[-\tfrac13,1].$$

Точки экстремума:

$$ y\!\left(-\frac13\right)=e^{-\frac1{27}-\frac19+\frac13+1}=e^{\frac{32}{27}}, \qquad y(1)=e^{1-1-1+1}=1. $$

Значит, в точке $$x=-\frac13$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

Кроме того,

$$ \lim_{x\to -\infty} e^{x^3-x^2-x+1}=0, $$
поэтому горизонтальная асимптота при $$x\to -\infty$$: $$y=0.$$

Для построения отметим точки:

$$ x=-1 \Rightarrow y=1, \qquad x=0 \Rightarrow y=e, \qquad x=1 \Rightarrow y=1. $$

Ответ

а) $$y=e^{(x-1)^2}$$, минимум $$y_{\min}=1$$ при $$x=1$$; точки $$ (0,e),\ (1,1),\ (2,e). $$
б) $$y=e^{x^3-x^2-x+1}=e^{(x-1)^2(x+1)}$$; возрастает на $$(-\infty,-\tfrac13]$$ и $$[1,+\infty),$$ убывает на $$[-\tfrac13,1],$$ максимум $$y_{\max}=e^{32/27}$$ при $$x=-\tfrac13,$$ минимум $$y_{\min}=1$$ при $$x=1,$$ горизонтальная асимптота $$y=0.$$