Упр.19.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.41. Найдите, если возможно, наименьшее и (или) наибольшее значение заданной функции на указанном промежутке: а) у = lnх + х; (0; 1];б) у = ex/x; (0; 2).

а) $$y=\ln x+x,\quad x\in(0;1]$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{1}{x}+1=\frac{x+1}{x}.$$

При $$x>0$$ имеем $$y'(x)>0$$, значит функция возрастает на промежутке $$\left(0;1\right]$$.

Следовательно, наибольшее значение достигается в правом конце промежутка:

$$y(1)=\ln 1+1=1.$$

Наименьшего значения на $$\left(0;1\right]$$ нет, так как при $$x\to 0+$$

$$\ln x+x\to -\infty.$$

б) $$y=\frac{e^x}{x},\quad x\in(0;2)$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{(e^x)’x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$

Так как $$e^x>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x>0$$, знак производной определяется выражением $$x-1$$:

• при $$0<x<1$$ имеем $$y'(x)<0$$, функция убывает;
• при $$1<x<2$$ имеем $$y'(x)>0$$, функция возрастает.

Значит, в точке $$x=1$$ достигается наименьшее значение:

$$y(1)=\frac{e^1}{1}=e.$$

Наибольшего значения на промежутке $$\left(0;2\right)$$ нет, так как при $$x\to 0+$$

$$\frac{e^x}{x}\to +\infty.$$

Ответ

а) наибольшее значение $$1$$, наименьшего нет; б) наименьшее значение $$e$$, наибольшего нет.