Упр.19.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.40. а) у = 4 * 2^3х — 27 * 2^2x + 3 * 2(x + 3), [-2; 0]; б) у = 3^3х — 2 * 3^2х + 9 * 3(х-2), [-1; 1].

а) $$y=4\cdot 2^{3x}-27\cdot 2^{2x}+3\cdot 2^{x+3}, \quad x\in[-2;0].$$

Найдём производную:

$$ y'(x)=12\cdot 2^{3x}\ln 2-54\cdot 2^{2x}\ln 2+24\cdot 2^x\ln 2 $$

$$ y'(x)=6\cdot 2^x\ln 2\,(2\cdot 2^{2x}-9\cdot 2^x+4). $$

Так как $$6\cdot 2^x\ln 2>0,$$ знак производной определяется выражением

$$2\cdot 2^{2x}-9\cdot 2^x+4.$$

Положим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$2t^2-9t+4=0,$$

$$D=81-32=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{4}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac12,\quad t_2=4.$$

То есть

$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1,\qquad 2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

На отрезке $$[-2;0]$$ лежит только точка $$x=-1.$$ Поэтому проверяем значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$ y(-2)=4\cdot 2^{-6}-27\cdot 2^{-4}+3\cdot 2 =\frac{1}{16}-\frac{27}{16}+6=\frac{35}{8}, $$

$$ y(-1)=4\cdot 2^{-3}-27\cdot 2^{-2}+3\cdot 2^2 =\frac12-\frac{27}{4}+12=\frac{23}{4}, $$

$$ y(0)=4\cdot 2^0-27\cdot 2^0+3\cdot 2^3=4-27+24=1. $$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{23}{4},$$ наименьшее — $$1.$$

б) $$y=3^{3x}-2\cdot 3^{2x}+9\cdot 3^{x-2}, \quad x\in[-1;1].$$

Найдём производную:

$$ y'(x)=3^{3x}\ln 3\cdot 3-2\cdot 3^{2x}\ln 3\cdot 2+9\cdot 3^{x-2}\ln 3 $$

$$ y'(x)=3^x\ln 3\,(3\cdot 3^{2x}-4\cdot 3^x+1). $$

Так как $$3^x\ln 3>0,$$ исследуем знак выражения

$$3\cdot 3^{2x}-4\cdot 3^x+1.$$

Положим $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$3t^2-4t+1=0,$$

$$D=16-12=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{4\pm 2}{6}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac13,\quad t_2=1.$$

Значит,

$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1,\qquad 3^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Проверим значения функции в точках $$-1, 0, 1$$:

$$ y(-1)=3^{-3}-2\cdot 3^{-2}+9\cdot 3^{-3} =\frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3} =\frac{4}{27}, $$

$$ y(0)=3^0-2\cdot 3^0+9\cdot 3^{-2} =1-2+1=0, $$

$$ y(1)=3^3-2\cdot 3^2+9\cdot 3^{-1} =27-18+3=12. $$

Следовательно, наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее — $$12.$$

Ответ

а) $$1;\ \frac{23}{4}$$

б) $$0;\ 12$$