Упр.19.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.4. a) f(x) = еsinх; в) f(x) = е корень х; б) fix) = xe(x2-2x+3); г) fix) = корень (е2х + х).
$$f(x)=e^{\sin x}$$
По правилу дифференцирования сложной функции:
$$f'(x)=e^{\sin x}\cdot(\sin x)’=e^{\sin x}\cos x.$$
$$f(x)=xe^{x^2-2x+3}$$
Применим правило произведения:
$$f'(x)=(x)’\cdot e^{x^2-2x+3}+x\cdot\left(e^{x^2-2x+3}\right)’$$
$$f'(x)=e^{x^2-2x+3}+x\cdot e^{x^2-2x+3}\cdot(2x-2)$$
$$f'(x)=e^{x^2-2x+3}\bigl(1+x(2x-2)\bigr)=e^{x^2-2x+3}(2x^2-2x+1).$$
$$f(x)=e^{\sqrt{x}}$$
По правилу цепочки:
$$f'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot(\sqrt{x})’=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.$$
$$f(x)=\sqrt{e^{2x}+x}$$
Используем правило дифференцирования корня:
$$f'(x)=\frac{(e^{2x}+x)’}{2\sqrt{e^{2x}+x}}=\frac{2e^{2x}+1}{2\sqrt{e^{2x}+x}}.$$
Ответ
а) $$e^{\sin x}\cos x$$; б) $$e^{x^2-2x+3}(2x^2-2x+1)$$; в) $$\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$$; г) $$\frac{2e^{2x}+1}{2\sqrt{e^{2x}+x}}$$.
