Упр.19.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значение заданной функции на заданном промежутке: 19.39. а) у = х + ln(-x), [-4; -0,5]; б) у = х + е(-х), [-ln4; ln2].

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=x+\ln(-x)$$ на отрезке $$[-4;\,-0{,}5].$$

Найдём производную:

$$y’ = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}.$$

Область определения: $$x<0.$$

Критическая точка на отрезке:

$$x+1=0 \Rightarrow x=-1.$$

Исследуем знак производной на отрезке $$[-4;\,-0{,}5].$$

На промежутке $$[-4;\,-1]$$ функция возрастает, а на $$[-1;\,-0{,}5]$$ убывает, значит, наибольшее значение достигается в точке $$x=-1,$$ а наименьшее — на концах отрезка.

Вычислим значения функции:

$$y(-4)=-4+\ln 4=\ln 4-4,$$

$$y(-1)=-1+\ln 1=-1,$$

$$y(-0{,}5)=-0{,}5+\ln 0{,}5=-0{,}5-\ln 2.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=\ln 4-4,\qquad y_{\max}=-1.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=x+e^{-x}$$ на отрезке $$[-\ln 4;\,\ln 2].$$

Найдём производную:

$$y’ = 1 — e^{-x}.$$

Критическая точка:

$$1-e^{-x}=0 \Rightarrow e^{-x}=1 \Rightarrow x=0.$$

На отрезке $$[-\ln 4;\,\ln 2]$$ функция убывает при $$x<0$$ и возрастает при $$x>0,$$ значит, минимум достигается в точке $$x=0,$$ а максимум — на концах отрезка.

Вычислим значения функции:

$$y(-\ln 4)=-\ln 4+e^{\ln 4}=4-\ln 4,$$

$$y(0)=0+e^0=1,$$

$$y(\ln 2)=\ln 2+e^{-\ln 2}=\ln 2+\frac12.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=1,\qquad y_{\max}=4-\ln 4.$$