Упр.19.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.37. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х — lnx на заданном отрезке: а)[1/e;e]; б) [е; е2].

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=x-\ln x.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$

Область определения: $$x>0.$$

Критическая точка:

$$y'(x)=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

Так как на рассматриваемых отрезках функция определена, найдём значения функции в концах отрезков и в критической точке, если она принадлежит отрезку.

а) На отрезке $$\left[\frac{1}{e};\,e\right]$$ точка $$x=1$$ принадлежит отрезку.

Вычислим:

$$y\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}-\ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}-(-1)=\frac{1}{e}+1,$$

$$y(1)=1-\ln 1=1,$$

$$y(e)=e-\ln e=e-1.$$

Сравниваем значения: наименьшее $$1$$, наибольшее $$e-1$$.

б) На отрезке $$\left[e;\,e^2\right]$$ точка $$x=1$$ не принадлежит отрезку, а при $$x>1$$ имеем $$y'(x)>0$$, значит функция возрастает на этом отрезке.

Тогда:

$$y(e)=e-\ln e=e-1,$$

$$y(e^2)=e^2-\ln e^2=e^2-2.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$e-1$$, а наибольшее — $$e^2-2$$.