Упр.19.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.36. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) у = х + ln(1/x) ;б) у = х4 — 4lnx.

а) $$y=x+\ln\frac{1}{x}=x-\ln x.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$y’ = 1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$

При $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x-1$$:

• если $$0<x<1,$$ то $$y'<0,$$ функция убывает;
• если $$x>1,$$ то $$y’>0,$$ функция возрастает.

В точке $$x=1$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, здесь минимум.

Значение функции в этой точке:

$$y(1)=1+\ln 1=1.$$

б) $$y=x^4-4\ln x.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$y’ = 4x^3-\frac{4}{x}=4\left(x^3-\frac{1}{x}\right)=\frac{4(x^4-1)}{x}.$$

Так как $$x>0,$$ знак производной определяется выражением $$x^4-1.$$

• если $$0<x<1,$$ то $$x^4-1<0,$$ значит, $$y'<0,$$ функция убывает;
• если $$x>1,$$ то $$x^4-1>0,$$ значит, $$y’>0,$$ функция возрастает.

В точке $$x=1$$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, здесь минимум.

Значение функции в этой точке:

$$y(1)=1^4-4\ln 1=1.$$

Ответ

а) Функция убывает на $$\left(0;1\right)$$ и возрастает на $$\left(1;+\infty\right)$$; $$x=1$$ — точка минимума, $$y_{\min}=1$$.

б) Функция убывает на $$\left(0;1\right)$$ и возрастает на $$\left(1;+\infty\right)$$; $$x=1$$ — точка минимума, $$y_{\min}=1$$.