Упр.19.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.35. При каком значении параметра а: а) прямая у = 3x — 4 + а является касательной к графику функции у = ln (3x — 4); б) прямая у = 2х + 3 + а является касательной к графику функции у = ln (2x + 3)?
а) Для функции $$y=\ln(3x-4)$$ найдём производную:
$$y’=\frac{3}{3x-4}.$$
Так как прямая $$y=3x-4+a$$ является касательной, её угловой коэффициент равен производной в точке касания:
$$\frac{3}{3x-4}=3.$$
Отсюда:
$$3=3(3x-4),$$
$$1=3x-4,$$
$$3x=5,$$
$$x_0=\frac{5}{3}.$$
Найдём значение функции в точке касания:
$$y_0=\ln\left(3\cdot\frac{5}{3}-4\right)=\ln 1=0.$$
Уравнение касательной:
$$y=0+3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5.$$
Сравнивая с $$y=3x-4+a$$, получаем:
$$3x-4+a=3x-5,$$
$$a=-1.$$
б) Для функции $$y=\ln(2x+3)$$ найдём производную:
$$y’=\frac{2}{2x+3}.$$
Угловой коэффициент касательной равен $$2$$, значит:
$$\frac{2}{2x+3}=2.$$
Тогда:
$$2=2(2x+3),$$
$$1=2x+3,$$
$$2x=-2,$$
$$x_0=-1.$$
Найдём значение функции в точке касания:
$$y_0=\ln(2\cdot(-1)+3)=\ln 1=0.$$
Уравнение касательной:
$$y=0+2(x+1)=2x+2.$$
Сравнивая с $$y=2x+3+a$$, получаем:
$$2x+3+a=2x+2,$$
$$a=-1.$$
Ответ
а) $$-1$$; б) $$-1$$.
