Упр.19.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.34. Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат: а) у = lnх;б) у = lnx3.

а) Пусть касательная к графику $$y=\ln x$$ проведена в точке $$x=a$$. Тогда

$$y(a)=\ln a, \qquad y'(x)=\frac{1}{x}, \qquad y'(a)=\frac{1}{a}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\ln a+\frac{1}{a}(x-a).$$

Так как касательная проходит через начало координат, подставим $$x=0$$, $$y=0$$:

$$0=\ln a+\frac{1}{a}(0-a)=\ln a-1.$$

Отсюда

$$\ln a=1,\qquad a=e.$$

Тогда

$$y=\ln e+\frac{1}{e}(x-e)=1+\frac{x}{e}-1=\frac{x}{e}.$$

б) Для функции $$y=\ln x^3=3\ln x$$ аналогично:

$$y(a)=3\ln a, \qquad y'(x)=\frac{3}{x}, \qquad y'(a)=\frac{3}{a}.$$

Уравнение касательной:

$$y=3\ln a+\frac{3}{a}(x-a).$$

Так как она проходит через начало координат, получаем:

$$0=3\ln a+\frac{3}{a}(0-a)=3\ln a-3.$$

Следовательно,

$$\ln a=1,\qquad a=e.$$

Тогда

$$y=3\ln e+\frac{3}{e}(x-e)=3+\frac{3x}{e}-3=\frac{3x}{e}.$$

Ответ

а) $$y=\frac{x}{e}$$; б) $$y=\frac{3x}{e}$$.