Упр.19.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.33. Напишите уравнение той касательной к графику функции у = f(x), которая параллельна прямой у = kx + m: а) f(x) = ln(3x + 2), у = х + 7; б) f(x) = ln (x2 + х), у = 1,5х + 4.

а) Для касательной к графику $$y=f(x)$$, параллельной прямой $$y=x+7$$, угловой коэффициент равен $$k=1$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{3x+2}.$$

Приравниваем её к угловому коэффициенту касательной:

$$\frac{3}{3x+2}=1,$$

$$3=3x+2,$$

$$3x=1,$$

$$x=\frac13.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f\!\left(\frac13\right)=\ln\!\left(3\cdot\frac13+2\right)=\ln 3.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a),$$

где $$a=\frac13$$. Тогда

$$y=\ln 3+1\left(x-\frac13\right)=\ln 3+x-\frac13.$$

б) Для прямой $$y=1{,}5x+4$$ угловой коэффициент равен $$k=1{,}5=\frac32$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x}.$$

Приравниваем к $$\frac32$$:

$$\frac{2x+1}{x^2+x}=\frac32,$$

$$2(2x+1)=3(x^2+x),$$

$$4x+2=3x^2+3x,$$

$$3x^2-x-2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25,$$

$$x=\frac{1\pm 5}{6}.$$

Получаем:

$$x_1=1,\qquad x_2=-\frac23.$$

Проверим область определения функции:

$$x^2+x>0,$$

$$x(x+1)>0,$$

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>0.$$

Подходит только $$x=1$$.

Найдём значение функции:

$$f(1)=\ln(1^2+1)=\ln 2.$$

Уравнение касательной:

$$y=\ln 2+\frac32(x-1)=\ln 2+1{,}5x-1{,}5.$$

Ответ

а) $$y=\ln 3+x-\frac13$$;

б) $$y=\ln 2+1{,}5x-1{,}5$$.