Упр.19.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.32. Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а: а) f(x) = х5 — lnx, а = 1; в) f(x) = -2xlnx, а = е; б) f(x) =lnx/x2 а = 1; г) f(x) = корень 3 степени x * lnx, а = 1.

Подробный ответ

а) $$f(x)=x^5-\ln x,\quad a=1$$
$$f(1)=1^5-\ln 1=1$$
$$f'(x)=5x^4-\frac{1}{x}$$
$$f'(1)=5-\!1=4$$
Уравнение касательной:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$
$$y=1+4(x-1)=4x-3$$
б) $$f(x)=\frac{\ln x}{x^2},\quad a=1$$
$$f(1)=\frac{\ln 1}{1^2}=0$$
$$f'(x)=\frac{(\ln x)’\cdot x^2-\ln x\cdot (x^2)’}{(x^2)^2} =\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2-\ln x\cdot 2x}{x^4}$$
$$f'(1)=\frac{1-0}{1}=1$$
$$y=0+1(x-1)=x-1$$
в) $$f(x)=-2x\ln x,\quad a=e$$
$$f(e)=-2e\ln e=-2e$$
$$f'(x)=(-2x)’\ln x-2x(\ln x)’=-2\ln x-2$$
$$f'(e)=-2\ln e-2=-2-2=-4$$
$$y=-2e-4(x-e)=2e-4x$$
г) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\,\ln x,\quad a=1$$
$$f(1)=\sqrt[3]{1}\cdot \ln 1=0$$
$$f'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’\ln x+\sqrt[3]{x}\,(\ln x)’$$
$$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\ln x+x^{\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{x} =\frac{\ln x+3}{3\sqrt[3]{x^2}}$$
$$f'(1)=\frac{0+3}{3}=1$$
$$y=0+1(x-1)=x-1$$