Упр.19.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.31. а) Докажите, что функция у = корень lnx удовлетворяет уравнению 2хуу’ = 1. б) Докажите, что функция у = е(1/х) удовлетворяет уравнению у + х2у’= 0.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=\sqrt{\ln x}.$$ Тогда по правилу дифференцирования сложной функции

$$ y’=\frac{1}{2\sqrt{\ln x}}\cdot \frac{1}{x}. $$

Подставим в левую часть уравнения:

$$ 2xyy’=2x\cdot \sqrt{\ln x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\ln x}}\cdot \frac{1}{x}=1. $$

Следовательно, функция удовлетворяет уравнению $$2xyy’=1.$$

б) Пусть $$y=e^{1/x}.$$ Тогда

$$ y’=e^{1/x}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{e^{1/x}}{x^2}. $$

Подставим в уравнение:

$$ y+x^2y’=e^{1/x}+x^2\left(-\frac{e^{1/x}}{x^2}\right)=e^{1/x}-e^{1/x}=0. $$

Значит, функция удовлетворяет уравнению $$y+x^2y’=0.$$