Упр.19.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.30 а)y=ln(2×3-3/x); в)y=ln(2tgx+x); б)y=ln2(3x-4); г)y=1/корень 5 степени ln2x.

1. $$y=\ln\left(2x^3-\frac{3}{x}\right)$$

   Используем правило: $$\left(\ln u\right)’=\frac{u’}{u}$$.

   $$u=2x^3-\frac{3}{x}, \quad u’=6x^2+\frac{3}{x^2}$$

   $$y’=\frac{6x^2+\frac{3}{x^2}}{2x^3-\frac{3}{x}}=\frac{6x^4+3}{2x^5-3x}$$

2. $$y=\ln^2(3x-4)$$

   Применяем правило производной сложной функции:

   $$y’=2\ln(3x-4)\cdot \frac{(3x-4)’}{3x-4}$$

   $$y’=2\ln(3x-4)\cdot \frac{3}{3x-4}=\frac{6\ln(3x-4)}{3x-4}$$

3. $$y=\ln(2\tg x+x)$$

   $$y’=\frac{(2\tg x+x)’}{2\tg x+x}=\frac{\frac{2}{\cos^2 x}+1}{2\tg x+x}$$

   $$y’=\frac{2+\cos^2 x}{(2\tg x+x)\cos^2 x}$$

   Так как $$2\tg x+x=\frac{2\sin x}{\cos x}+x$$, то

   $$y’=\frac{2+\cos^2 x}{2\sin x\cos x+x\cos^2 x}=\frac{2+\cos^2 x}{\sin 2x+x\cos^2 x}$$

4. $$y=\frac{1}{\sqrt[5]{\ln 2x}}=(\ln 2x)^{-\frac15}$$

   $$y’=-\frac15(\ln 2x)^{-\frac65}\cdot \frac{(2x)’}{2x}$$

   $$y’=-\frac15(\ln 2x)^{-\frac65}\cdot \frac{2}{2x}=-\frac{1}{5x(\ln 2x)^{\frac65}}$$

   Или

   $$y’=-\frac{1}{5x\ln 2x\sqrt[5]{(\ln 2x)^6}}$$

Ответ

$$\text{а) } y’=\frac{6x^4+3}{2x^5-3x}; \quad \text{б) } y’=\frac{6\ln(3x-4)}{3x-4}; \quad \text{в) } y’=\frac{2+\cos^2 x}{\sin 2x+x\cos^2 x}; \quad \text{г) } y’=-\frac{1}{5x(\ln 2x)^{\frac65}}.$$