Упр.19.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.29 а)y=logx(x+1);б)y=log(x-1)(x2).

Используем формулу производной частного:

$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.$$

1. $$y=\log_x(x+1)=\frac{\ln(x+1)}{\ln x}.$$

   Тогда

   $$y’=\frac{\left(\ln(x+1)\right)’\ln x-\ln(x+1)\left(\ln x\right)’}{(\ln x)^2}.$$

   Так как $$\left(\ln(x+1)\right)’=\frac1{x+1}, \quad \left(\ln x\right)’=\frac1x,$$ то

   $$y’=\frac{\frac1{x+1}\ln x-\ln(x+1)\cdot\frac1x}{\ln^2 x}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$y’=\frac{x\ln x-(x+1)\ln(x+1)}{x(x+1)\ln^2 x}.$$

2. $$y=\log_{x-1}x^2=\frac{\ln x^2}{\ln(x-1)}=\frac{2\ln x}{\ln(x-1)}.$$

   Тогда

   $$y’=\frac{(2\ln x)’\ln(x-1)-2\ln x\cdot(\ln(x-1))’}{\ln^2(x-1)}.$$

   Так как $$ (2\ln x)’=\frac{2}{x}, \quad (\ln(x-1))’=\frac1{x-1},$$ то

   $$y’=\frac{\frac{2}{x}\ln(x-1)-2\ln x\cdot\frac1{x-1}}{\ln^2(x-1)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$y’=\frac{2(x-1)\ln(x-1)-2x\ln x}{x(x-1)\ln^2(x-1)}.$$

Ответ

$$\text{а) } y’=\frac{x\ln x-(x+1)\ln(x+1)}{x(x+1)\ln^2 x}; \qquad \text{б) } y’=\frac{2(x-1)\ln(x-1)-2x\ln x}{x(x-1)\ln^2(x-1)}.$$