Упр.19.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Найдите производную функции: 19.27 а)2x-log3(x-1); в)y=5x-7log1/3(x+1); б)y=3(-x)+2log1/2(x); г)y=(1/7)x+log5(x+4).
а) $$y=2^x-\log_3(x-1)$$
Используем формулы:
$$\left(a^x\right)’=a^x\ln a,\qquad \left(\log_a x\right)’=\frac{1}{x\ln a}.$$
Тогда
$$y’=2^x\ln 2-\frac{1}{(x-1)\ln 3}.$$
б) $$y=3^{-x}+2\log_{\frac12}x$$
Находим производную по частям:
$$\left(3^{-x}\right)’=3^{-x}\cdot(-\ln 3)=-3^{-x}\ln 3,$$
$$\left(2\log_{\frac12}x\right)’=2\cdot \frac{1}{x\ln \frac12}=-\frac{2}{x\ln 2}.$$
Следовательно,
$$y’=-3^{-x}\ln 3-\frac{2}{x\ln 2}.$$
в) $$y=5^x-7\log_{\frac13}(x+1)$$
Тогда
$$y’=5^x\ln 5-7\cdot \frac{1}{(x+1)\ln \frac13}.$$
Так как $$\ln \frac13=-\ln 3,$$ получаем
$$y’=5^x\ln 5+\frac{7}{(x+1)\ln 3}.$$
г) $$y=\left(\frac17\right)^x+\log_5(x+4)$$
Находим производную:
$$\left(\left(\frac17\right)^x\right)’=\left(\frac17\right)^x\ln \frac17=-7^{-x}\ln 7,$$
$$\left(\log_5(x+4)\right)’=\frac{1}{(x+4)\ln 5}.$$
Значит,
$$y’=-7^{-x}\ln 7+\frac{1}{(x+4)\ln 5}.$$
Ответ
а) $$y’=2^x\ln 2-\frac{1}{(x-1)\ln 3}$$
б) $$y’=-3^{-x}\ln 3-\frac{2}{x\ln 2}$$
в) $$y’=5^x\ln 5+\frac{7}{(x+1)\ln 3}$$
г) $$y’=-7^{-x}\ln 7+\frac{1}{(x+4)\ln 5}$$
