Упр.19.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Найдите значение производной заданной функции в указанной точке: 19.25. а) у = lnx + х, х0 =1/7; в) у = х2 — lnх, х0 = 0,5; б) у = х3lnx, x0 = е; г) у = lnx/x, х0 = 1.

1. а) $$y=\ln x+x,\quad x_0=\frac17$$

   Найдём производную:

   $$y’=\left(\ln x\right)’+(x)’=\frac1x+1$$

   Подставим $$x_0=\frac17$$:

   $$y’\left(\frac17\right)=\frac{1}{1/7}+1=7+1=8$$

2. б) $$y=x^3\ln x,\quad x_0=e$$

   По правилу произведения:

   $$y’=(x^3)’\ln x+x^3(\ln x)’=3x^2\ln x+x^3\cdot\frac1x$$

   $$y’=3x^2\ln x+x^2=x^2(3\ln x+1)$$

   Подставим $$x_0=e$$:

   $$y'(e)=e^2(3\ln e+1)=e^2(3\cdot1+1)=4e^2$$

3. в) $$y=x^2-\ln x,\quad x_0=0{,}5$$

   Найдём производную:

   $$y’=(x^2)’-(\ln x)’=2x-\frac1x$$

   Подставим $$x_0=0{,}5$$:

   $$y'(0{,}5)=2\cdot0{,}5-\frac1{0{,}5}=1-2=-1$$

4. г) $$y=\frac{\ln x}{x},\quad x_0=1$$

   По правилу производной частного:

   $$y’=\frac{(\ln x)’\cdot x-\ln x\cdot(x)’}{x^2}=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$$

   Подставим $$x_0=1$$:

   $$y'(1)=\frac{1-\ln 1}{1^2}=\frac{1-0}{1}=1$$

Ответ

а) $$8$$; б) $$4e^2$$; в) $$-1$$; г) $$1$$.