Упр.19.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.23. Найдите производную функции: а) у = x2lnx б) у =lnx/(х + 1); в) у = x/lnx; г) У = (x — 5)lnх.

1. $$y=x^2\ln x$$

   Применим правило произведения:

   $$y’=(x^2)’\ln x+x^2(\ln x)’=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).$$

2. $$y=\frac{\ln x}{x+1}$$

   Используем правило производной частного:

   $$y’=\frac{(\ln x)'(x+1)-\ln x\,(x+1)’}{(x+1)^2}=\frac{\frac1x(x+1)-\ln x}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x\ln x}{x(x+1)^2}.$$

3. $$y=\frac{x}{\ln x}$$

   По формуле производной частного:

   $$y’=\frac{x’\ln x-x(\ln x)’}{\ln^2 x}=\frac{\ln x-x\cdot\frac1x}{\ln^2 x}=\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}.$$

4. $$y=(x-5)\ln x$$

   Снова применим правило произведения:

   $$y’=(x-5)’\ln x+(x-5)(\ln x)’=\ln x+\frac{x-5}{x}=\ln x+1-\frac5x.$$

Ответ

а) $$x(2\ln x+1)$$; б) $$\frac{x+1-x\ln x}{x(x+1)^2}$$; в) $$\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}$$; г) $$\ln x+1-\frac5x$$.