Упр.19.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.21. При каких значениях параметра а функция у = х6е(-х) на интервале (а; а + 7): а) имеет одну точку экстремума;б) имеет две точки экстремума;в) убывает;г) возрастает?

Подробный ответ

Найдём производную функции $$y=x^6e^{-x}$$:

$$ y’=(x^6)’e^{-x}+x^6(e^{-x})’ = 6x^5e^{-x}-x^6e^{-x}=x^5e^{-x}(6-x). $$

Так как $$e^{-x}>0$$ при любых $$x$$, знак производной определяется выражением $$x^5(6-x)$$.

Критические точки:

$$x=0,\quad x=6.$$

Знак $$y’$$:

при $$x<0$$ имеем $$y'<0$$;
при $$0<x<6$$ имеем $$y’>0$$;
при $$x>6$$ имеем $$y'<0$$.

Значит, $$x=0$$ — точка минимума, $$x=6$$ — точка максимума.

а) Одна точка экстремума на интервале $$\left(a;\,a+7\right)$$.

Это возможно, если в интервал попадает только одна из точек $$0$$ или $$6$$:

$$ \begin{cases} a<0,\\ 0<a+7\le 6 \end{cases} \Rightarrow -7<a\le -1 $$

или

$$ \begin{cases} 0\le a<6,\\ a+7>6 \end{cases} \Rightarrow 0\le a<6. $$

Итак, $$a\in(-7;\,-1]\cup[0;\,6).$$

б) Две точки экстремума.

Нужно, чтобы в интервал $$\left(a;\,a+7\right)$$ попали обе точки $$0$$ и $$6$$:

$$ a<0,\qquad a+7>6 $$

то есть

$$ -1<a<0. $$

Следовательно, $$a\in(-1;\,0).$$

в) Функция убывает на $$\left(a;\,a+7\right)$$.

Убывание происходит на промежутках $$(-\infty;\,0)$$ и $$[6;\,+\infty)$$. Поэтому весь интервал $$\left(a;\,a+7\right)$$ должен целиком лежать либо слева от нуля, либо справа от шести:

$$ a+7\le 0 \Rightarrow a\le -7, $$

или

$$ a\ge 6. $$

Значит, $$a\in(-\infty;\,-7]\cup[6;\,+\infty).$$

г) Функция возрастает на $$\left(a;\,a+7\right)$$.

Возрастание возможно только на промежутке $$[0;\,6]$$. Но длина этого отрезка равна $$6$$, а длина интервала $$\left(a;\,a+7\right)$$ равна $$7$$, поэтому он не может целиком лежать внутри $$[0;\,6]$$.

Следовательно, таких значений параметра нет.