Упр.19.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.20. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х2eх на заданном отрезке: а) [-1; 1];б) [-3; 1];в) [-3; -1];г) [1; 3].

Найдём производную функции $$y=x^2e^x$$:

$$y’=(x^2)’e^x+x^2(e^x)’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2).$$

Так как $$e^x>0$$ при любых $$x$$, то знак производной определяется выражением $$x(x+2)$$. Критические точки:

$$x=-2,\quad x=0.$$

На каждом из заданных отрезков сравним значения функции в концах отрезка и в критических точках, если они принадлежат отрезку.

1. На отрезке $$[-1;1]$$:

   $$y(-1)=(-1)^2e^{-1}=\frac{1}{e},\quad y(0)=0,\quad y(1)=1\cdot e=e.$$

   Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$e$$.

2. На отрезке $$[-3;1]$$:

   $$y(-3)=9e^{-3}=\frac{9}{e^3},\quad y(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2},\quad y(0)=0,\quad y(1)=e.$$

   Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$e$$.

3. На отрезке $$[-3;-1]$$:

   $$y(-3)=\frac{9}{e^3},\quad y(-2)=\frac{4}{e^2},\quad y(-1)=\frac{1}{e}.$$

   Так как $$\frac{9}{e^3}<\frac{4}{e^2}<\frac{1}{e}$$, то наименьшее значение равно $$\frac{9}{e^3}$$, а наибольшее — $$\frac{1}{e}$$.

4. На отрезке $$[1;3]$$:

   $$y(1)=e,\quad y(3)=9e^3.$$

   Наименьшее значение: $$e$$, наибольшее значение: $$9e^3$$.

Ответ

а) $$0$$; $$e$$.

б) $$0$$; $$e$$.

в) $$\frac{9}{e^3}$$; $$\frac{1}{e}$$.

г) $$e$$; $$9e^3$$.