Упр.19.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: 19.18. а) у = х2ех;б) у = хе(2х-4); в) у = х3ех;г) у = ex/x.

1. а) $$y=x^2e^x$$

   $$y’=(x^2)’e^x+x^2(e^x)’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2).$$
   Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x(x+2)$$.

   $$y’>0$$ при $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty),$$
   $$y'<0$$ при $$x\in(-2;0).$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0]$$.
   В точке $$x=-2$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка максимума.
   В точке $$x=0$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума.

2. б) $$y=xe^{2x-4}$$

   $$y’=(x)’e^{2x-4}+x(e^{2x-4})’=e^{2x-4}+2xe^{2x-4}=e^{2x-4}(1+2x).$$
   Поскольку $$e^{2x-4}>0$$, знак производной определяется выражением $$1+2x$$.

   $$y'<0$$ при $$x\in(-\infty;-\tfrac12),$$
   $$y’>0$$ при $$x\in(-\tfrac12;+\infty).$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-\tfrac12]$$ и возрастает на $$[-\tfrac12;+\infty)$$.
   Точка $$x=-\tfrac12$$ — точка минимума.

3. в) $$y=x^3e^x$$

   $$y’=(x^3)’e^x+x^3(e^x)’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(x+3).$$
   Так как $$x^2\ge 0$$ и $$e^x>0$$, знак производной определяется множителем $$x+3$$.

   $$y'<0$$ при $$x\in(-\infty;-3),$$
   $$y’>0$$ при $$x\in(-3;+\infty).$$

   Значит, функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty)$$.
   Точка $$x=-3$$ — точка минимума.

4. г) $$y=\dfrac{e^x}{x}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   $$y’=\dfrac{(e^x)’x-e^x(x)’}{x^2}=\dfrac{e^xx-e^x}{x^2}=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}.$$
   Так как $$e^x>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется выражением $$x-1$$.

   $$y'<0$$ при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;1),$$
   $$y’>0$$ при $$x\in(1;+\infty).$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$.
   Точка $$x=1$$ — точка минимума.

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$; $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
б) убывает на $$(-\infty;-\tfrac12]$$, возрастает на $$[-\tfrac12;+\infty)$$; $$x=-\tfrac12$$ — точка минимума.
в) убывает на $$(-\infty;-3]$$, возрастает на $$[-3;+\infty)$$; $$x=-3$$ — точка минимума.
г) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$; $$x=1$$ — точка минимума.