Упр.19.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.17. Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат: а) у = е(x/2);б) у = е(x/3).

Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда её уравнение имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а) $$y=e^{x/2}$$

Найдём значение функции и производной в точке $$a$$:

$$f(a)=e^{a/2}, \qquad f'(x)=\frac12 e^{x/2}, \qquad f'(a)=\frac12 e^{a/2}.$$

Уравнение касательной:

$$y=e^{a/2}+\frac12 e^{a/2}(x-a).$$

Так как касательная проходит через начало координат, подставим $$x=0$$, $$y=0$$:

$$0=e^{a/2}+\frac12 e^{a/2}(0-a).$$

$$0=e^{a/2}\left(1-\frac a2\right).$$

Так как $$e^{a/2}\neq 0$$, получаем

$$1-\frac a2=0, \qquad a=2.$$

Тогда

$$y=e^{1}+\frac12 e^{1}(x-2)=\frac e2\,x.$$

б) $$y=e^{x/3}$$

Найдём значение функции и производной в точке $$a$$:

$$f(a)=e^{a/3}, \qquad f'(x)=\frac13 e^{x/3}, \qquad f'(a)=\frac13 e^{a/3}.$$

Уравнение касательной:

$$y=e^{a/3}+\frac13 e^{a/3}(x-a).$$

Так как касательная проходит через начало координат, подставим $$x=0$$, $$y=0$$:

$$0=e^{a/3}+\frac13 e^{a/3}(0-a).$$

$$0=e^{a/3}\left(1-\frac a3\right).$$

Следовательно,

$$1-\frac a3=0, \qquad a=3.$$

Тогда

$$y=e+\frac13 e(x-3)=\frac e3\,x.$$

Ответ

а) $$y=\frac e2\,x$$; б) $$y=\frac e3\,x$$.