Упр.19.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.16. а) Напишите уравнение той касательной к графику функции у = е2х, которая параллельна прямой у = 2е*х — 5. б) Докажите, что касательная к графику функции у = е(х3 -х) в точке х = 1 параллельна прямой у = 2х + 3.

а) Для функции $$y=e^{2x}$$ найдём производную:

$$y’=(e^{2x})’=2e^{2x}.$$

Касательная параллельна прямой $$y=2ex-5$$, значит её угловой коэффициент равен $$2e$$. Тогда

$$2e^{2x}=2e,$$

$$e^{2x}=e,$$

$$2x=1,$$

$$x=\frac12.$$

Найдём ординату точки касания:

$$y\left(\frac12\right)=e^{2\cdot \frac12}=e.$$

Уравнение касательной:

$$y-e=2e\left(x-\frac12\right),$$

$$y=2ex.$$

б) Для функции $$y=e^{x^3-x}$$ найдём производную:

$$y’=(e^{x^3-x})’=(3x^2-1)e^{x^3-x}.$$

В точке $$x=1$$:

$$y'(1)=(3\cdot 1^2-1)e^{1^3-1}=2e^0=2.$$

У прямой $$y=2x+3$$ угловой коэффициент тоже равен $$2$$. Следовательно, касательная к графику функции в точке $$x=1$$ параллельна этой прямой.

Ответ

а) $$y=2ex$$.

б) $$y'(1)=2$$, значит касательная параллельна прямой $$y=2x+3$$.