Упр.19.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.15. Напишите уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а: а) у = хе(2х-1), а = 1/2; б) у = (2х + 1)e(1-2x), а = 1/2.
Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$ имеет вид
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
а) $$y=xe^{2x-1}, \quad a=\frac12.$$
Найдём значение функции в точке $$x=\frac12$$:
$$f\!\left(\frac12\right)=\frac12 e^{2\cdot \frac12-1}=\frac12 e^0=\frac12.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(xe^{2x-1})’=e^{2x-1}+x\cdot 2e^{2x-1}=e^{2x-1}(1+2x).$$
Тогда
$$f’\!\left(\frac12\right)=e^0(1+1)=2.$$
Составим уравнение касательной:
$$y=\frac12+2\left(x-\frac12\right)=\frac12+2x-1=2x-\frac12.$$
б) $$y=(2x+1)e^{1-2x}, \quad a=\frac12.$$
Найдём значение функции в точке $$x=\frac12$$:
$$f\!\left(\frac12\right)=(2\cdot \frac12+1)e^{1-2\cdot \frac12}=2e^0=2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\bigl((2x+1)e^{1-2x}\bigr)’=2e^{1-2x}+(2x+1)(-2)e^{1-2x}.$$
$$f'(x)=\bigl(2-2(2x+1)\bigr)e^{1-2x}=-4xe^{1-2x}.$$
Тогда
$$f’\!\left(\frac12\right)=-4\cdot \frac12 \cdot e^0=-2.$$
Составим уравнение касательной:
$$y=2-2\left(x-\frac12\right)=2-2x+1=3-2x.$$
Ответ
а) $$y=2x-\frac12$$; б) $$y=3-2x$$.
