Упр.19.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.14. Является ли заданная прямая касательной к графику за данной функции в указанной точке: а) у = 3е2(х) — 3е2; у = e(3x-1) — е2; х = 1; б) у = х + е; у = хех; х = О?

Подробный ответ

Проверим, совпадает ли данная прямая с касательной к графику функции в указанной точке. Для этого найдём значение функции в точке и значение производной в этой точке. Если прямая проходит через точку графика и её угловой коэффициент равен производной, то это касательная.

$$y=3e^{2x}-3e^2,\quad y=e^{3x-1}-e^2,\quad x=1.$$
Найдём значение функции:
$$y(1)=3e^{2\cdot 1}-3e^2=3e^2-3e^2=0,$$
$$y(1)=e^{3\cdot 1-1}-e^2=e^2-e^2=0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\left(e^{3x-1}\right)’-(e^2)’=3e^{3x-1},$$
$$y'(1)=3e^{3\cdot 1-1}=3e^2.$$
Уравнение касательной в точке $$x=1$$:
$$y=0+3e^2(x-1)=3e^2x-3e^2.$$
Это совпадает с заданной прямой, значит, она является касательной.
$$y=x+e,\quad y=xe^x,\quad x=0.$$
Найдём значение функции:
$$y(0)=0+e=e,$$
$$y(0)=0\cdot e^0=0.$$
Точки графика и прямой не совпадают, значит, данная прямая не может быть касательной к графику функции в точке $$x=0$$.